微分積分例

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) + \sin (2 x) d x$

ステップ 1

単一積分を複数積分に分割します。

$\int_{0}^{π} 2 \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

ステップ 2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$2 \int_{0}^{π} \sin (x) d x + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

ステップ 3

$\sin (x)$ の $x$ に関する積分は $- \cos (x)$ です。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{π} \sin (2 x) d x$

ステップ 4

$u = 2 x$ とします。次に $d u = 2 d x$ すると、 $\frac{1}{2} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 4.1

$u = 2 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 4.1.1

$2 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 4.1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 4.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cdot 1$

ステップ 4.1.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2$

ステップ 4.2

$u = 2 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 2 \cdot 0$

ステップ 4.3

$2$ に $0$ をかけます。

$u_{lower} = 0$

ステップ 4.4

$u = 2 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 4.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2 π$

ステップ 4.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \sin (u) \frac{1}{2} d u$

ステップ 5

$\sin (u)$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \int_{0}^{2 π} \frac{\sin (u)}{2} d u$

ステップ 6

$\frac{1}{2}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2}$ を積分の外に移動させます。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} \sin (u) d u$

ステップ 7

$\sin (u)$ の $u$ に関する積分は $- \cos (u)$ です。

$2 (- \cos (x)]_{0}^{π}) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

ステップ 8

代入し簡約します。

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ステップ 8.1

$π$ および $0$ で $- \cos (x)$ の値を求めます。

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} - \cos (u)]_{0}^{2 π}$

ステップ 8.2

$2 π$ および $0$ で $- \cos (u)$ の値を求めます。

$2 ((- \cos (π)) + \cos (0)) + \frac{1}{2} ((- \cos (2 π)) + \cos (0))$

ステップ 8.3

括弧を削除します。

$2 (- \cos (π) + \cos (0)) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

ステップ 9

簡約します。

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ステップ 9.1

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + \cos (0))$

ステップ 9.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- \cos (π) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$2 (- - \cos (0) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$2 (- (- 1 \cdot 1) + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (- - 1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$2 (1 + 1) + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \cdot 2 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.6

$2$ に $2$ をかけます。

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (2 π) + 1)$

ステップ 10.7

角度が $0$ 以上 $2 π$ より小さくなるまで $2 π$ の回転を戻します。

$4 + \frac{1}{2} (- \cos (0) + 1)$

ステップ 10.8

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$4 + \frac{1}{2} (- 1 \cdot 1 + 1)$

ステップ 10.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$4 + \frac{1}{2} (- 1 + 1)$

ステップ 10.10

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$4 + \frac{1}{2} \cdot 0$

ステップ 10.11

$\frac{1}{2}$ に $0$ をかけます。

$4 + 0$

ステップ 10.12

$4$ と $0$ をたし算します。

$4$

微分積分 例

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