微分積分例

$\int_{0}^{π} \tan^{2} (\frac{x}{3}) d x$

ステップ 1

$u = \frac{x}{3}$ とします。次に $d u = \frac{1}{3} d x$ すると、 $3 d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = \frac{x}{3}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{x}{3}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

ステップ 1.1.2

$\frac{1}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{3}$ の微分係数は $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} \cdot 1$

ステップ 1.1.4

$\frac{1}{3}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3}$

ステップ 1.2

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = \frac{0}{3}$

ステップ 1.3

$0$ を $3$ で割ります。

$u_{lower} = 0$

ステップ 1.4

$u = \frac{x}{3}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.5

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{3}$

ステップ 1.6

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

ステップ 2

簡約します。

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ステップ 2.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{1}{3}$ で割ります。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) (1 \cdot 3) d u$

ステップ 2.2

$3$ に $1$ をかけます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) \cdot 3 d u$

ステップ 2.3

$3$ を $\tan^{2} (u)$ の左に移動させます。

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} 3 \tan^{2} (u) d u$

ステップ 3

$3$ は $u$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} \tan^{2} (u) d u$

ステップ 4

ピタゴラスの恒等式を利用して、 $\tan^{2} (u)$ を $- 1 + \sec^{2} (u)$ に書き換えます。

$3 \int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 + \sec^{2} (u) d u$

ステップ 5

単一積分を複数積分に分割します。

$3 (\int_{0}^{\frac{π}{3}} - 1 d u + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 6

定数の法則を当てはめます。

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \int_{0}^{\frac{π}{3}} \sec^{2} (u) d u)$

ステップ 7

$\tan (u)$ の微分係数が $\sec^{2} (u)$ なので、 $\sec^{2} (u)$ の積分は $\tan (u)$ です。

$3 (- u]_{0}^{\frac{π}{3}} + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 8

$- u]_{0}^{\frac{π}{3}}$ と $\tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}}$ をまとめます。

$3 (- u + \tan (u)]_{0}^{\frac{π}{3}})$

ステップ 9

代入し簡約します。

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ステップ 9.1

$\frac{π}{3}$ および $0$ で $- u + \tan (u)$ の値を求めます。

$3 ((- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3})) - (- 0 + \tan (0)))$

ステップ 9.2

簡約します。

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ステップ 9.2.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - (0 + \tan (0)))$

ステップ 9.2.2

$0$ と $\tan (0)$ をたし算します。

$3 (- \frac{π}{3} + \tan (\frac{π}{3}) - \tan (0))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\tan (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\sqrt{3}$ です。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - \tan (0))$

ステップ 10.2

$\tan (0)$ の厳密値は $0$ です。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} - 0)$

ステップ 10.3

$- 1$ に $0$ をかけます。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3} + 0)$

ステップ 10.4

$- \frac{π}{3} + \sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$3 (- \frac{π}{3} + \sqrt{3})$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$3 (- \frac{π}{3}) + 3 \sqrt{3}$

ステップ 11.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$- \frac{π}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

$3 \frac{- π}{3} + 3 \sqrt{3}$

ステップ 11.2.3

式を書き換えます。

$- π + 3 \sqrt{3}$

ステップ 12

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- π + 3 \sqrt{3}$

10進法形式：

$2.05455976 \dots$

微分積分 例

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