微分積分例

$\int_{0.4}^{1} x^{4} \cot (x^{5}) d x$

ステップ 1

$u = x^{5}$ とします。次に $d u = 5 x^{4} d x$ すると、 $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 1.1

$u = x^{5}$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 1.1.1

$x^{5}$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 1.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4}$

ステップ 1.2

$u = x^{5}$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = {0.4}^{5}$

ステップ 1.3

$0.4$ を $5$ 乗します。

$u_{lower} = 0.01024$

ステップ 1.4

$u = x^{5}$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 1^{5}$

ステップ 1.5

1のすべての数の累乗は1です。

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 0.01024$

$u_{upper} = 1$

ステップ 1.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{0.01024}^{1} \cot (u) \frac{1}{5} d u$

ステップ 2

$\cot (u)$ と $\frac{1}{5}$ をまとめます。

$\int_{0.01024}^{1} \frac{\cot (u)}{5} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{5}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{5}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{5} \int_{0.01024}^{1} \cot (u) d u$

ステップ 4

$\cot (u)$ の $u$ に関する積分は $\ln (| \sin (u) |)$ です。

$\frac{1}{5} \ln (| \sin (u) |)]_{0.01024}^{1}$

ステップ 5

$1$ および $0.01024$ で $\ln (| \sin (u) |)$ の値を求めます。

$\frac{1}{5} (\ln (| \sin (1) |) - \ln (| \sin (0.01024) |))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{1}{5} \ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$

ステップ 6.2

$\frac{1}{5}$ と $\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})$ をまとめます。

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

ステップ 7

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{\ln (\frac{| \sin (1) |}{| \sin (0.01024) |})}{5}$

10進法形式：

$0.10663868 \dots$

微分積分 例

微分積分例