微分積分例

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{25 - 16 x^{2}}} d x$

ステップ 1

指数を利用して式を書きます。

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ステップ 1.1

$25$ を $5^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - 16 x^{2}}} d x$

ステップ 1.2

$16 x^{2}$ を ${(4 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\int_{0.25}^{0.5} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - {(4 x)}^{2}}} d x$

ステップ 2

$u = 4 x$ とします。次に $d u = 4 d x$ すると、 $\frac{1}{4} d u = d x$ です。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

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ステップ 2.1

$u = 4 x$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

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ステップ 2.1.1

$4 x$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [4 x]$

ステップ 2.1.2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 \cdot 1$

ステップ 2.1.4

$4$ に $1$ をかけます。

$4$

ステップ 2.2

$u = 4 x$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 \cdot 0.25$

ステップ 2.3

$4$ に $0.25$ をかけます。

$u_{lower} = 1$

ステップ 2.4

$u = 4 x$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 4 \cdot 0.5$

ステップ 2.5

$4$ に $0.5$ をかけます。

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

ステップ 2.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$\int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} \cdot \frac{1}{4} d u$

ステップ 3

$\frac{1}{4}$ は $u$ に対して定数なので、 $\frac{1}{4}$ を積分の外に移動させます。

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}} d u$

ステップ 4

$\frac{1}{\sqrt{5^{2} - u^{2}}}$ の $u$ に関する積分は $\arcsin (\frac{u}{5})$ である

$\frac{1}{4} \arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$

ステップ 5

$\frac{1}{4}$ と $\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}$ をまとめます。

$\frac{\arcsin (\frac{u}{5})]_{1}^{2}}{4}$

ステップ 6

代入し簡約します。

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ステップ 6.1

$2$ および $1$ で $\arcsin (\frac{u}{5})$ の値を求めます。

$\frac{(\arcsin (\frac{2}{5})) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 6.2

$2$ と $5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$2$ を $1 (2)$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (\frac{1 (2)}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$5$ を $1 (5)$ に書き換えます。

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\arcsin (\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 6.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\arcsin (\frac{2}{5}) - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分子を簡約します。

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ステップ 7.1.1

$\arcsin (\frac{2}{5})$ の値を求めます。

$\frac{0.41151684 - \arcsin (\frac{1}{5})}{4}$

ステップ 7.1.2

$\arcsin (\frac{1}{5})$ の値を求めます。

$\frac{0.41151684 - 1 \cdot 0.20135792}{4}$

ステップ 7.1.3

$- 1$ に $0.20135792$ をかけます。

$\frac{0.41151684 - 0.20135792}{4}$

ステップ 7.1.4

$0.41151684$ から $0.20135792$ を引きます。

$\frac{0.21015892}{4}$

ステップ 7.2

$0.21015892$ を $4$ で割ります。

$0.05253973$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例