微分積分例

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ , $[- 1, 1]$

ステップ 1

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ を関数で書きます。

$f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

ステップ 2

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[- 1, 1]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} - 2 x$

ステップ 2.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

$f (x)$ は $[- 1, 1]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x d x)$

ステップ 6

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\int_{- 1}^{1} 3 x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

ステップ 7

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 \int_{- 1}^{1} x^{\frac{2}{3}} d x + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

ステップ 8

べき乗則では、 $x^{\frac{2}{3}}$ の $x$ に関する積分は $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

ステップ 9

$\frac{3}{5}$ と $x^{\frac{5}{3}}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) + \int_{- 1}^{1} - 2 x d x)$

ステップ 10

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $- 2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 \int_{- 1}^{1} x d x)$

ステップ 11

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 1}^{1}))$

ステップ 12

答えを簡約します。

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ステップ 12.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}]_{- 1}^{1}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

ステップ 12.2

代入し簡約します。

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ステップ 12.2.1

$1$ および $- 1$ で $\frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5}) - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 1}^{1}))$

ステップ 12.2.2

$1$ および $- 1$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1^{\frac{5}{3}}}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3

簡約します。

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ステップ 12.2.3.1

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 \cdot 1}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.2

$3$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.3

$- 1$ を ${(- 1)}^{3}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.4

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.5

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.5.1

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.5.2

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 {(- 1)}^{5}}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.6

$- 1$ を $5$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{3 \cdot - 1}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.7

$3$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} - \frac{- 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.8

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.9

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + 1 (\frac{3}{5})) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.10

$\frac{3}{5}$ に $1$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3}{5} + \frac{3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.11

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{3 + 3}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.12

$3$ と $3$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (3 (\frac{6}{5}) - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.13

$3$ と $\frac{6}{5}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{3 \cdot 6}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.14

$3$ に $6$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.15

1のすべての数の累乗は1です。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2}))$

ステップ 12.2.3.16

$- 1$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{1}{2} - \frac{1}{2}))$

ステップ 12.2.3.17

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{1 - 1}{2})$

ステップ 12.2.3.18

$1$ から $1$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{2}))$

ステップ 12.2.3.19

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.19.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 (0)}{2})$

ステップ 12.2.3.19.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.2.3.19.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 12.2.3.19.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

ステップ 12.2.3.19.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 (\frac{0}{1}))$

ステップ 12.2.3.19.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} - 2 \cdot 0)$

ステップ 12.2.3.20

$- 2$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5} + 0)$

ステップ 12.2.3.21

$\frac{18}{5}$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{1 + 1} (\frac{18}{5})$

ステップ 13

$1$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{18}{5}$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $18$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 (9)}{5}$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 9}{5}$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{9}{5}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例