微分積分例

$y = x^{2} - 3 x + 1$ , $[0, 2]$

ステップ 1

$y = x^{2} - 3 x + 1$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$

ステップ 2

$f (x) = x^{2} - 3 x + 1$ の微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

微分します。

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ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x^{2} - 3 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.2.3

$- 3$ に $1$ をかけます。

$2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

ステップ 2.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$2 x - 3 + 0$

ステップ 2.1.3.2

$2 x - 3$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 2 x - 3$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $2 x - 3$ です。

$2 x - 3$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

$f' (x)$ は $[0, 2]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 5

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 6

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x - 3 d x)$

ステップ 7

単一積分を複数積分に分割します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (\int_{0}^{2} 2 x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

ステップ 8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $2$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \int_{0}^{2} x d x + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

ステップ 9

べき乗則では、 $x$ の $x$ に関する積分は $\frac{1}{2} x^{2}$ です。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

ステップ 10

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 d x)$

ステップ 11

定数の法則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

ステップ 12

代入し簡約します。

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ステップ 12.1

$2$ および $0$ で $\frac{x^{2}}{2}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2}) + - 3 x]_{0}^{2})$

ステップ 12.2

$2$ および $0$ で $- 3 x$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2^{2}}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3

簡約します。

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ステップ 12.3.1

$2$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.2.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.2.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.2.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.2.2.4

$2$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0^{2}}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.4

$0$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.4.1

$2$ を $0$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 (0)}{2}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.4.2

共通因数を約分します。

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ステップ 12.3.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.4.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.4.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - \frac{0}{1}) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.4.2.4

$0$ を $1$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 - 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 (2 + 0) - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.6

$2$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (2 \cdot 2 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 3 \cdot 2 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.8

$- 3$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 3 \cdot 0)$

ステップ 12.3.9

$3$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6 + 0)$

ステップ 12.3.10

$- 6$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (4 - 6)$

ステップ 12.3.11

$4$ から $6$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{2 - 0} (- 2)$

ステップ 13

分母を簡約します。

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ステップ 13.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{2 + 0} \cdot - 2$

ステップ 13.2

$2$ と $0$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot - 2$

ステップ 14

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.1

$2$ を $- 2$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))$

ステップ 14.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)$

ステップ 14.3

式を書き換えます。

$A (x) = - 1$

ステップ 15

微分積分 例

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