微分積分例

$y = \sqrt{2 x}$ , $(2, 8)$

ステップ 1

$y = \sqrt{2 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = \sqrt{2 x}$

ステップ 2

$f (x) = \sqrt{2 x}$ の微分係数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

くくりだして簡約します。

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ステップ 2.1.1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x}$ を ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.1.2

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.1.3

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.2

$2^{\frac{1}{2}}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.1.3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 2.1.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 2.1.5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.6

公分母の分子をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 2.1.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 2.1.7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 2.1.9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.1.10

$2^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 2.1.11

式を簡約します。

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ステップ 2.1.11.1

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $2^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.12

指数を足して $2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 2.1.12.1

$2$ に $2^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.12.1.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.12.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.12.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.12.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.1.12.4

$2$ から $1$ を引きます。

$f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 2.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ です。

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f' (x)$ が $[2, 8]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f' (x) = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

分数指数をもつ式を根に変換します。

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ステップ 3.1.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.1.2

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{2^{1}} \sqrt{x^{1}}}$

ステップ 3.1.3

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x^{1}}}$

ステップ 3.1.4

$1$ に乗じたものは底そのものです。

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$

ステップ 3.2

$\sqrt{x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x \geq 0$

ステップ 3.3

$\frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$\sqrt{2} \sqrt{x} = 0$

ステップ 3.4

$x$ について解きます。

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ステップ 3.4.1

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(\sqrt{2} \sqrt{x})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2

方程式の各辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1

${(\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.2.1.1

積の法則を $\sqrt{2} x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${\sqrt{2}}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2

${\sqrt{2}}^{2}$ を $2$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.2.2.1.2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2}$ を $2^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.2.4.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{2}{2}} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2.4.2

式を書き換えます。

$2^{1} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.2.5

指数を求めます。

$2 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.3

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$2 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$2 x^{1} = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.2.1.4

簡約します。

$2 x = 0^{2}$

ステップ 3.4.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.3.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$2 x = 0$

ステップ 3.4.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.4.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 3.4.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3.5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

区間記号：

$(0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x > 0}$

ステップ 4

$f' (x)$ は $[2, 8]$ で連続します。

$f' (x)$ は連続します

ステップ 5

関数 $f'$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 6

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\int_{2}^{8} \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}} d x)$

ステップ 7

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ は $x$ に対して定数なので、 $\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}}$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x)$

ステップ 8

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 8.1

$x^{\frac{1}{2}}$ を $- 1$ 乗して分母の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x)$

ステップ 8.2

${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 8.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x)$

ステップ 8.2.2

$\frac{1}{2}$ と $- 1$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{\frac{- 1}{2}} d x)$

ステップ 8.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \int_{2}^{8} x^{- \frac{1}{2}} d x)$

ステップ 9

べき乗則では、 $x^{- \frac{1}{2}}$ の $x$ に関する積分は $2 x^{\frac{1}{2}}$ です。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}}]_{2}^{8})$

ステップ 10

代入し簡約します。

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ステップ 10.1

$8$ および $2$ で $2 x^{\frac{1}{2}}$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot ((2 \cdot 8^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2

簡約します。

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ステップ 10.2.1

$8$ を $2^{3}$ に書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.2

${(2^{3})}^{\frac{1}{2}}$ の指数を掛けます。

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ステップ 10.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{3 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.2.2

$3$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 \cdot 2^{\frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{1 + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.5

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{2 + 3}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.6

$2$ と $3$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.7

負をくくり出します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 10.2.8

$2$ を $1$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}})))$

ステップ 10.2.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{1 + \frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.10

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}))$

ステップ 10.2.11

公分母の分子をまとめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{2 + 1}{2}}))$

ステップ 10.2.12

$2$ と $1$ をたし算します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{5}{2}} - 2^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot 2^{\frac{5}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 11.2

$2^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1

$2^{\frac{1}{2}}$ を $2^{\frac{5}{2}}$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 11.2.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (\frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{4}{2}}) + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 11.2.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2^{\frac{3}{2}}))$

ステップ 11.3

$2^{\frac{1}{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.3.1

$2^{\frac{1}{2}}$ を $- 2^{\frac{3}{2}}$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

ステップ 11.3.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} + \frac{1}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot (2^{\frac{1}{2}} (- 2^{\frac{2}{2}})))$

ステップ 11.3.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{\frac{4}{2}} - 2^{\frac{2}{2}})$

ステップ 11.4

各項を簡約します。

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ステップ 11.4.1

$4$ を $2$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2^{2} - 2^{\frac{2}{2}})$

ステップ 11.4.2

$2$ を $2$ 乗します。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2^{\frac{2}{2}})$

ステップ 11.4.3

$2$ を $2$ で割ります。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

ステップ 11.4.4

指数を求めます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 1 \cdot 2)$

ステップ 11.4.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (4 - 2)$

ステップ 11.5

$4$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{8 - 2} (2)$

ステップ 12

$8$ から $2$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{6} \cdot 2$

ステップ 13

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{2 (3)} \cdot 2$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{2 \cdot 3} \cdot 2$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{3}$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例