微分積分例

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

ステップ 1

$y = \frac{3}{x - 2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{3}{x - 2}$

ステップ 2

関数の平均値を求めるために、関数は閉区間 $[a, b]$ 上で連続でなければなりません。 $f (x)$ が $[4, 7]$ 上で連続かどうか求めるために、 $f (x) = \frac{3}{x - 2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{3}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 3

$f (x)$ は $[4, 7]$ で連続します。

$f (x)$ は連続します

ステップ 4

関数 $f$ の区間 $[a, b]$ の平均値は $A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ と定義されます。

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

ステップ 5

実際の値を関数の平均値の公式に代入します。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (\int_{4}^{7} \frac{3}{x - 2} d x)$

ステップ 6

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $3$ を積分の外に移動させます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{4}^{7} \frac{1}{x - 2} d x)$

ステップ 7

$u = x - 2$ とします。次に $d u = d x$ 。 $u$ と $d$ $u$ を利用して書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$u = x - 2$ とします。 $\frac{d u}{d x}$ を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1.1

$x - 2$ を微分します。

$\frac{d}{d x} [x - 2]$

ステップ 7.1.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 7.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$1 + 0$

ステップ 7.1.5

$1$ と $0$ をたし算します。

$1$

ステップ 7.2

$u = x - 2$ の $x$ に下限値を代入します。

$u_{lower} = 4 - 2$

ステップ 7.3

$4$ から $2$ を引きます。

$u_{lower} = 2$

ステップ 7.4

$u = x - 2$ の $x$ に上限値を代入します。

$u_{upper} = 7 - 2$

ステップ 7.5

$7$ から $2$ を引きます。

$u_{upper} = 5$

ステップ 7.6

$u_{lower}$ と $u_{upper}$ について求めた値は定積分を求めるために利用します。

$u_{lower} = 2$

$u_{upper} = 5$

ステップ 7.7

$u$ 、 $d u$ 、および新たな積分の極限を利用して問題を書き換えます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \int_{2}^{5} \frac{1}{u} d u)$

ステップ 8

$\frac{1}{u}$ の $u$ に関する積分は $\ln (| u |)$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| u |)]_{2}^{5}))$

ステップ 9

$5$ および $2$ で $\ln (| u |)$ の値を求めます。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 (\ln (| 5 |) - \ln (| 2 |)))$

ステップ 10

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{| 5 |}{| 2 |}))$

ステップ 11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 11.1

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $5$ の間の距離は $5$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{| 2 |}))$

ステップ 11.2

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$A (x) = \frac{1}{7 - 4} (3 \ln (\frac{5}{2}))$

ステップ 12

$7$ から $4$ を引きます。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

ステップ 13

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$3$ を $3 \ln (\frac{5}{2})$ で因数分解します。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 (\ln (\frac{5}{2})))$

ステップ 13.2

共通因数を約分します。

$A (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 \ln (\frac{5}{2}))$

ステップ 13.3

式を書き換えます。

$A (x) = \ln (\frac{5}{2})$

ステップ 14

微分積分 例

微分積分例