微分積分例

$y = \frac{3}{x - 2}$ , $[4, 7]$

ステップ 1

微分係数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{3}{x - 2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x - 2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{1}{x - 2}$ を ${(x - 2)}^{- 1}$ に書き換えます。

$3 \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$3 (- {(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$- 3 ({(x - 2)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 2])$

ステップ 1.1.3.2

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

ステップ 1.1.3.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.5.2

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 {(x - 2)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

簡約します。

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ステップ 1.1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 3 \frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.4.2.1

$- 3$ と $\frac{1}{{(x - 2)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ です。

$- \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 2

微分係数が $[4, 7]$ 上で連続か求めます。

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ステップ 2.1

関数が $[4, 7]$ で連続か求めるために、 $f' (x) = - \frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1.1

$\frac{3}{{(x - 2)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 2)}^{2} = 0$

ステップ 2.1.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1.2.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.1.2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.1.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 2.2

$f' (x)$ は $[4, 7]$ で連続します。

関数は連続です。

ステップ 3

微分係数が $[4, 7]$ で連続なので、関数は $[4, 7]$ で微分可能です。

関数は微分可能です。

ステップ 4

微分積分 例

微分積分例