微分積分例

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ です。

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

$f (x + h) = \frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$

$f (x) = \frac{\sinh (x)}{e^{x}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

ステップ 4

項をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})}{h}$

ステップ 4.2

$- (\frac{\sinh (x)}{e^{x}})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}} \cdot \frac{e^{x}}{e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $e^{x + h} e^{x}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.3.1

$\frac{\sinh (x + h)}{e^{x + h}}$ に $\frac{e^{x}}{e^{x}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h} e^{x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.3.2

指数を足して $e^{x + h}$ に $e^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{x + h + x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.3.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - (\frac{\sinh (x)}{e^{x}}) \cdot \frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.3.3

$\frac{\sinh (x)}{e^{x}}$ に $\frac{e^{h + x}}{e^{h + x}}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x} e^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.3.4

指数を足して $e^{x}$ に $e^{h + x}$ を掛けます。

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ステップ 4.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{x + h + x}}}{h}$

ステップ 4.3.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x}}{e^{h + 2 x}} - \frac{\sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

ステップ 4.4

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}}{h}$

ステップ 5

極限の独立変数を簡約します。

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ステップ 5.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.2

$\frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 6.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sinh (x + h) e^{x} - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.2

$e^{x}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - lim_{h \to 0} \sinh (x) e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.3

$\sinh (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.4

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \sinh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.7

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1.2.7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $\sinh (x + h)$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \sinh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.7.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.7.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.8

$e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 6.1.2.8.1

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - \sinh (x) e^{x}}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.8.2

$e^{x} \sinh (x)$ と $- \sinh (x) e^{x}$ について因数を並べ替えます。

$\frac{e^{x} \sinh (x) - e^{x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.2.8.3

$e^{x} \sinh (x)$ から $e^{x} \sinh (x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} h}$

ステップ 6.1.3

分母の極限値を求めます。

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ステップ 6.1.3.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.1.3.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.1.3.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.1.3.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.1.3.5

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 6.1.3.5.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot lim_{h \to 0} h}$

ステップ 6.1.3.5.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{e^{0 + 2 x} \cdot 0}$

ステップ 6.1.3.6

答えを簡約します。

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ステップ 6.1.3.6.1

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{0}{e^{2 x} \cdot 0}$

ステップ 6.1.3.6.2

$e^{2 x}$ に $0$ をかけます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.3.6.3

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.3.7

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 6.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}}{e^{h + 2 x} h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 6.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.2

総和則では、 $\sinh (x + h) e^{x} - \sinh (x) e^{h + x}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3

$\frac{d}{d h} [\sinh (x + h) e^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.3.1

$e^{x}$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $\sinh (x + h) e^{x}$ の微分係数は $e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \frac{d}{d h} [\sinh (x + h)] + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.2

$f (h) = \sinh (h)$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.2.2

$u_{1}$ に関する $\sinh (u_{1})$ の微分係数は $\cosh (u_{1})$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \frac{d}{d h} [x + h]) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.3

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.4

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h])) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) (0 + 1)) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.6

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} (\cosh (x + h) \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.3.7

$\cosh (x + h)$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) + \frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4

$\frac{d}{d h} [- \sinh (x) e^{h + x}]$ の値を求めます。

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ステップ 6.3.4.1

$- \sinh (x)$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- \sinh (x) e^{h + x}$ の微分係数は $- \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) \frac{d}{d h} [e^{h + x}]}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.2

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = h + x$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.4.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $h + x$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $h + x$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \frac{d}{d h} [h + x])}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.3

総和則では、 $h + x$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + \frac{d}{d h} [x]))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.5

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} (1 + 0))}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.6

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) (e^{h + x} \cdot 1)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.4.7

$e^{h + x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{h + x}}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.5

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{\frac{d}{d h} [e^{h + 2 x} h]}$

ステップ 6.3.6

$f (h) = e^{h + 2 x}$ および $g (h) = h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h] + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

ステップ 6.3.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} \cdot 1 + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

ステップ 6.3.8

$e^{h + 2 x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h \frac{d}{d h} [e^{h + 2 x}]}$

ステップ 6.3.9

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = h + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $h + 2 x$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

ステップ 6.3.9.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{u} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

ステップ 6.3.9.3

$u$ のすべての発生を $h + 2 x$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \frac{d}{d h} [h + 2 x])}$

ステップ 6.3.10

総和則では、 $h + 2 x$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (\frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

ステップ 6.3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + \frac{d}{d h} [2 x]))}$

ステップ 6.3.12

$2 x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} (1 + 0))}$

ステップ 6.3.13

$1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h (e^{h + 2 x} \cdot 1)}$

ステップ 6.3.14

$e^{h + 2 x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} + h e^{h + 2 x}}$

ステップ 6.3.15

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.15.1

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}}$

ステップ 6.3.15.2

$e^{h + 2 x} h + e^{h + 2 x}$ の因数を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{x} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.3

$e^{x}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - lim_{h \to 0} e^{h + x} \sinh (x)}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.4

$\sinh (x)$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) lim_{h \to 0} e^{h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.5

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.8

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.10

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.11

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.12

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + lim_{h \to 0} e^{h + 2 x}}$

ステップ 7.13

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 7.14

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x}}$

ステップ 7.15

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} lim_{h \to 0} \cosh (x + h) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$h$ を $0$ に代入し、 $\cosh (x + h)$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \cosh (x + 0) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{lim_{h \to 0} h + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8.4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{lim_{h \to 0} h + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8.5

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{lim_{h \to 0} h + 2 x}}$

ステップ 8.6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{0 + x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.1

$0$ と $x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.1.2

$e^{x}$ を $e^{x} \cosh (x) - \sinh (x) e^{x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1.2.1

$e^{x}$ を $e^{x} \cosh (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) - \sinh (x) e^{x}}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.1.2.2

$e^{x}$ を $- \sinh (x) e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.1.2.3

$e^{x}$ を $e^{x} (\cosh (x)) + e^{x} (- \sinh (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{0 + 2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.2

分母を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 \cdot e^{2 x} + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.2.2

$0$ に $e^{2 x}$ をかけます。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{0 + 2 x}}$

ステップ 9.2.3

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{0 + e^{2 x}}$

ステップ 9.2.4

$0$ と $e^{2 x}$ をたし算します。

$\frac{e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{e^{2 x}}$

ステップ 9.3

$e^{x}$ と $e^{2 x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.1

$e^{2 x}$ を $e^{x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x}}$

ステップ 9.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 9.3.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 9.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x)))}{e^{2 x} \cdot 1}$

ステップ 9.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))}{1}$

ステップ 9.3.2.4

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$ を $1$ で割ります。

$e^{- x} (\cosh (x) - \sinh (x))$

ステップ 9.4

分配則を当てはめます。

$e^{- x} \cosh (x) + e^{- x} (- \sinh (x))$

ステップ 9.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$e^{- x} \cosh (x) - e^{- x} \sinh (x)$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例