微分積分例

$e^{- 5 x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = e^{- 5 (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $e^{- 5 x - 5 h}$ です。

$e^{- 5 x - 5 h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

$f (x) = e^{- 5 x}$

$f (x + h) = e^{- 5 x - 5 h}$

$f (x) = e^{- 5 x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - (e^{- 5 x})}{h}$

ステップ 4

$- 1$ に $e^{- 5 x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 5.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 5.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.2

指数に極限を移動させます。

$\frac{e^{lim_{h \to 0} - 5 x - 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{e^{- lim_{h \to 0} 5 x - lim_{h \to 0} 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- 5 x - lim_{h \to 0} 5 h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.5

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h} - lim_{h \to 0} e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $e^{- 5 x}$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{e^{- 5 x - 5 \cdot 0} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

答えを簡約します。

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ステップ 5.1.2.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.1.2.3.1.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$\frac{e^{- 5 x + 0} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

$- 5 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{e^{- 5 x} - e^{- 5 x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3.2

$e^{- 5 x}$ から $e^{- 5 x}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $e^{- 5 x - 5 h} - e^{- 5 x}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [e^{- 5 x - 5 h}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = - 5 x - 5 h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 5 x - 5 h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{u} \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $- 5 x - 5 h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} \frac{d}{d h} [- 5 x - 5 h] + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

総和則では、 $- 5 x - 5 h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [- 5 x] + \frac{d}{d h} [- 5 h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (\frac{d}{d h} [- 5 x] + \frac{d}{d h} [- 5 h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.3

$- 5 x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- 5 x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 + \frac{d}{d h} [- 5 h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.4

$- 5$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- 5 h$ の微分係数は $- 5 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5 \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5 \cdot 1) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.6

$- 5$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} (0 - 5) + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.7

$0$ から $5$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{e^{- 5 x - 5 h} \cdot - 5 + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.8

$- 5$ を $e^{- 5 x - 5 h}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h} + \frac{d}{d h} [- e^{- 5 x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$- e^{- 5 x}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- e^{- 5 x}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

$- 5 e^{- 5 x - 5 h}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- 5 e^{- 5 x - 5 h}}{1}$

ステップ 5.4

$- 5 e^{- 5 x - 5 h}$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - 5 e^{- 5 x - 5 h}$

ステップ 6

極限を求めます。

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ステップ 6.1

$- 5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 lim_{h \to 0} e^{- 5 x - 5 h}$

ステップ 6.2

指数に極限を移動させます。

$- 5 e^{lim_{h \to 0} - 5 x - 5 h}$

ステップ 6.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- 5 e^{- lim_{h \to 0} 5 x - lim_{h \to 0} 5 h}$

ステップ 6.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $5 x$ の極限値を求めます。

$- 5 e^{- 5 x - lim_{h \to 0} 5 h}$

ステップ 6.5

$5$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- 5 e^{- 5 x - 5 lim_{h \to 0} h}$

ステップ 7

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- 5 e^{- 5 x - 5 \cdot 0}$

ステップ 8

答えを簡約します。

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ステップ 8.1

$- 5$ に $0$ をかけます。

$- 5 e^{- 5 x + 0}$

ステップ 8.2

$- 5 x$ と $0$ をたし算します。

$- 5 e^{- 5 x}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例