微分積分例

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) + 3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ です。

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$

$f (x) = \frac{2 x}{x + 3}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} - (\frac{2 x}{x + 3})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{2 x}{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h + 3} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 3) (x + 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{2 (x + h)}{x + h + 3}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x}{x + 3} \cdot \frac{x + h + 3}{x + h + 3}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{2 x}{x + 3}$ に $\frac{x + h + 3}{x + h + 3}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + h + 3) (x + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(x + h + 3) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)} - \frac{2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ を $2 (x + h) (x + 3) - 2 x (x + h + 3)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$2$ を $2 (x + h) (x + 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) - 2 x (x + h + 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$2$ を $- 2 x (x + h + 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$2$ を $2 ((x + h) (x + 3)) + 2 (- x (x + h + 3))$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 ((x + h) (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x (x + 3) + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h (x + 3) - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot 3 + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 \cdot x + h x + h \cdot 3 - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$3$ を $h$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x (x + h + 3))}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x \cdot x - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.5.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.5.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - (x \cdot x) - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - x \cdot 3)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (x^{2} + 3 x + h x + 3 h - x^{2} - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h + 0 - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$3 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 x + h x + 3 h - x h - 3 x)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$h x + 3 h - x h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (h x + 3 h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$h x$ から $x h$ を引きます。

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ステップ 4.1.5.10.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + x h - x h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10.2

$x h$ から $x h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (3 h + 0)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$3 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot (3 h)}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$2$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6 h}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$h$ を $6 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h \cdot 6}{(x + 3) (x + h + 3)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{6}{(x + 3) (x + h + 3)}$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$\frac{6}{x + 3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{6}{x + 3} lim_{h \to 0} \frac{1}{x + h + 3}$

ステップ 5.2

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

ステップ 5.3

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + h + 3}$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

ステップ 5.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}$

ステップ 5.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + lim_{h \to 0} h + 3}$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 0 + 3}$

ステップ 7

答えを簡約します。

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ステップ 7.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$

ステップ 7.2

$\frac{6}{x + 3} \cdot \frac{1}{x + 3}$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{6}{x + 3}$ に $\frac{1}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{6}{(x + 3) (x + 3)}$

ステップ 7.2.2

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} (x + 3)}$

ステップ 7.2.3

$x + 3$ を $1$ 乗します。

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}}$

ステップ 7.2.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6}{{(x + 3)}^{1 + 1}}$

ステップ 7.2.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6}{{(x + 3)}^{2}}$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例