微分積分例

$f (x) = \frac{1}{4 - x^{2}}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{4 - {(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2^{2} - {(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2$ であり、 $b = x + h$ です。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - (x + h))}$

ステップ 2.1.2.1.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ です。

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

$f (x + h) = \frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

$f (x) = \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} - (\frac{1}{(2 + x) (2 - x)})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)} \cdot \frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(2 + x + h) (2 - x - h) (2 + x) (2 - x)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ に $\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 - x)}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ に $\frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(2 + x + h) (2 - x - h) ((2 + x) (2 - x))$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))}}{h}$

ステップ 4.1.3.4

$(2 + x) (2 - x) ((2 + x + h) (2 - x - h))$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} - \frac{(2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(2 + x) (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 + x) (2 - x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 (2 - x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (2 - x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 2 (- x) + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.1.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + x \cdot 2 + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.1.3

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 \cdot x + x (- x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x \cdot x - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1.5.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - (x \cdot x) - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - 2 x + 2 x - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 + 0 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

$4$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - (2 + x + h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 1 \cdot 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} + (- 2 - x - h) (2 - x - h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- 2 - x - h) (2 - x - h)$ を展開します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 2 \cdot 2 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.6.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 - 2 (- x) - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x - 2 (- h) - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.3

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - x \cdot 2 - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - x (- x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.6.6.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x - 1 \cdot (- 1 x^{2}) - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.7

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + 1 x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.8

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - x (- h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.9

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} - 1 \cdot (- 1 x h) - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + 1 x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.11

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - h \cdot 2 - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.12

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - h (- x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.13

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h - 1 \cdot (- 1 h x) - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.14

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + 1 h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.15

$h$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - h (- h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.16

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h \cdot h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.17

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.6.17.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 (h \cdot h))}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.17.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x - 1 \cdot (- 1 h^{2})}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.18

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + 1 h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.19

$h^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$- 4 + 2 x + 2 h - 2 x + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.7.1

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + 0 + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.2

$- 4 + 2 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + 2 h + x^{2} + x h - 2 h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.3

$2 h$ から $2 h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + 0 + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.4

$- 4 + x^{2} + x h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + h x + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.8.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + x h + x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8.2

$x h$ と $x h$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{4 - x^{2} - 4 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$4$ から $4$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + 0 + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} + x^{2} + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{0 + 2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$0$ と $2 x h$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13

$h$ を $2 x h + h^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.13.1

$h$ を $2 x h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13.2

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.13.3

$h$ を $h (2 x) + h (h)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (2 x + h)}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x) (2 + x + h) (2 - x) (2 - x - h)}$

ステップ 5

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{(2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 8

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} (2 + x + h) (2 - x - h)}$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} 2 + x + h \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

ステップ 10

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(lim_{h \to 0} 2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

ステップ 11

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

ステップ 12

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot lim_{h \to 0} 2 - x - h}$

ステップ 13

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (lim_{h \to 0} 2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 14

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - lim_{h \to 0} x - lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 15

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 16

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 16.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + lim_{h \to 0} h) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 16.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x - lim_{h \to 0} h)}$

ステップ 16.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x + 0}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

ステップ 17

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x + 0) \cdot (2 - x + 0)}$

ステップ 17.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.2.1

$2 + x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x + 0)}$

ステップ 17.2.2

$2 - x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$

ステップ 17.3

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)} \cdot \frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 17.3.1

$\frac{1}{(2 + x) (2 - x)}$ に $\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x)}$ をかけます。

$\frac{2 x}{(2 + x) (2 - x) ((2 + x) (2 - x))}$

ステップ 17.3.2

$2 + x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} (2 + x) (2 - x) (2 - x)}$

ステップ 17.3.3

$2 + x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1} {(2 + x)}^{1} (2 - x) (2 - x)}$

ステップ 17.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{1 + 1} (2 - x) (2 - x)}$

ステップ 17.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} (2 - x) (2 - x)}$

ステップ 17.3.6

$2 - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} (2 - x))}$

ステップ 17.3.7

$2 - x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} ({(2 - x)}^{1} {(2 - x)}^{1})}$

ステップ 17.3.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{1 + 1}}$

ステップ 17.3.9

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 x}{{(2 + x)}^{2} {(2 - x)}^{2}}$

ステップ 18

微分積分 例

微分積分例