微分積分例

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = \frac{1}{3} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

$\frac{1}{3}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.2.1

$3$ を $3 x^{2} h$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (x^{2} h)) + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.2.3

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.3.1

$3$ を $3 x h^{2}$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.3.2

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + \frac{1}{3} \cdot (3 (x h^{2})) + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.3.3

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{1}{3} h^{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.3.4

$\frac{1}{3}$ と $h^{3}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - {(x + h)}^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.4

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - ((x + h) (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.5

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.5.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x (x + h) + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.5.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.5.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.6

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.6.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.6.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.6.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.6.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.6.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.6.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.7

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - (2 h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 (h x) - h^{2} - 4 (x + h) + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.1.9

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$ です。

$\frac{x^{3}}{3} + x^{2} h + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ と $h$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + x h^{2} + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.2

$x$ と $h^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 x - 4 h + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.3

$- 4 x$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - x^{2} - 2 h x - h^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.4

$- x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - 2 h x - h^{2} - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.5

$- 2 h x$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{3} + h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.6

$\frac{x^{3}}{3}$ を移動させます。

$h x^{2} + h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.7

$h x^{2}$ を移動させます。

$h^{2} x + \frac{h^{3}}{3} + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.2.8

$h^{2} x$ と $\frac{h^{3}}{3}$ を並べ替えます。

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - (\frac{x^{3}}{3} - x^{2} - 4 x + \frac{32}{3})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + 1 x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.2.1.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} - (- 4 x) - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} + \frac{x^{3}}{3} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{x^{3}}{3}$ から $\frac{x^{3}}{3}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.4

$\frac{h^{3}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + x^{2} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.5

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 0 + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.6

$\frac{h^{3}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h - 4 x + \frac{32}{3} + 4 x - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.7

$- 4 x$ と $4 x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0 + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.8

$\frac{h^{3}}{3}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32}{3} - \frac{32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{32 - 32}{3}}{h}$

ステップ 4.1.10

$32$ から $32$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}}{h}$

ステップ 4.1.11

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + \frac{0}{3}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$0$ を $3$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h + 0}{h}$

ステップ 4.1.11.2

$\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.12

$h^{2} x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + h^{2} x \cdot \frac{3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.13

$h^{2} x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3}}{3} + \frac{h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.14

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{3} + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.15

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.15.1

$h^{2}$ を $h^{3} + h^{2} x \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.15.1.1

$h^{2}$ を $h^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} x \cdot 3}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.15.1.2

$h^{2}$ を $h^{2} x \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.15.1.3

$h^{2}$ を $h^{2} h + h^{2} (x \cdot 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + x \cdot 3)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.15.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.16

$h x^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + h x^{2} \cdot \frac{3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.17

$h x^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{3} + \frac{h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.18

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.19.1

$h$ を $h^{2} (h + 3 x) + h x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.19.1.1

$h$ を $h^{2} (h + 3 x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2}) \cdot 3}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.1.2

$h$ を $h x^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.1.3

$h$ を $h (h (h + 3 x)) + h (x^{2} \cdot 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h + 3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.3

$h$ に $h$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + x^{2} \cdot 3)}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.19.5

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.20

$- h^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} - h^{2} \cdot \frac{3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.21

$- h^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{3} + \frac{- h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.22

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.23

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.23.1

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.23.1.1

$h$ を $- h^{2} \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.23.1.2

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 3)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.23.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.24

$- 2 h x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} - 2 h x \cdot \frac{3}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.25

$- 2 h x$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h)}{3} + \frac{- 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.26

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.27

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.27.1

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) - 2 h x \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.27.1.1

$h$ を $- 2 h x \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.27.1.2

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h) + h (- 2 x \cdot 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 2 x \cdot 3)}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.27.2

$3$ に $- 2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h}{h}$

ステップ 4.1.28

$- 4 h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} - 4 h \cdot \frac{3}{3}}{h}$

ステップ 4.1.29

$- 4 h$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x)}{3} + \frac{- 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 4.1.30

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 4.1.31

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.31.1

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) - 4 h \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.31.1.1

$h$ を $- 4 h \cdot 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

ステップ 4.1.31.1.2

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x) + h (- 4 \cdot 3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 4 \cdot 3)}{3}}{h}$

ステップ 4.1.31.2

$- 4$ に $3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12)}{3} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 4.4

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12) \cdot 1}{3}$

ステップ 4.5

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12}{3}$

ステップ 5

$\frac{1}{3}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} lim_{h \to 0} h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 3 h - 6 x - 12$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{3} (lim_{h \to 0} h^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 7

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + lim_{h \to 0} 3 h x + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 8

$3 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3 x^{2}$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - lim_{h \to 0} 3 h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 10

$3$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 11

$h$ が $0$ に近づくと定数である $6 x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - lim_{h \to 0} 12)$

ステップ 12

$h$ が $0$ に近づくと定数である $12$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} ({(lim_{h \to 0} h)}^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 13

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 13.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x lim_{h \to 0} h + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 13.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 lim_{h \to 0} h - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 13.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{3} (0^{2} + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 14

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{1}{3} (0 + 3 x \cdot 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 14.1.2

$3 x \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1.2.1

$0$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} (0 + 0 x + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 14.1.2.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} - 3 \cdot 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 14.1.3

$- 3$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 1 \cdot 12)$

ステップ 14.1.4

$- 1$ に $12$ をかけます。

$\frac{1}{3} (0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

ステップ 14.2

$0 + 0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (0 + 3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

ステップ 14.2.2

$0$ と $3 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2} + 0 - 6 x - 12)$

ステップ 14.2.3

$3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2} - 6 x - 12)$

ステップ 14.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.1.1

$3$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{1}{3} (3 (x^{2})) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.1.3

式を書き換えます。

$x^{2} + \frac{1}{3} (- 6 x) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.2.1

$3$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} + \frac{1}{3} (3 (- 2 x)) + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot - 12$

ステップ 14.4.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.4.3.1

$3$ を $- 12$ で因数分解します。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 4))$

ステップ 14.4.3.2

共通因数を約分します。

$x^{2} - 2 x + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 4)$

ステップ 14.4.3.3

式を書き換えます。

$x^{2} - 2 x - 4$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例