微分積分例

$15 x^{3}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 15 {(x + h)}^{3}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = 15 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

ステップ 2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 15 x^{3} + 15 (3 x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

ステップ 2.1.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$3$ に $15$ をかけます。

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 15 (3 x h^{2}) + 15 h^{3}$

ステップ 2.1.2.3.2

$3$ に $15$ をかけます。

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 (x^{2} h) + 45 (x h^{2}) + 15 h^{3}$

ステップ 2.1.2.4

括弧を削除します。

$f (x + h) = 15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

ステップ 2.1.2.5

最終的な答えは $15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$ です。

$15 x^{3} + 45 x^{2} h + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 x h^{2} + 15 h^{3}$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$15 x^{3} + 45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3}$

ステップ 2.2.3

$15 x^{3}$ を移動させます。

$45 h x^{2} + 45 h^{2} x + 15 h^{3} + 15 x^{3}$

ステップ 2.2.4

$45 h x^{2}$ を移動させます。

$45 h^{2} x + 15 h^{3} + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

ステップ 2.2.5

$45 h^{2} x$ と $15 h^{3}$ を並べ替えます。

$15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

$f (x + h) = 15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3}$

$f (x) = 15 x^{3}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - (15 x^{3})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- 1$ に $15$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 15 x^{3} - 15 x^{3}}{h}$

ステップ 4.1.2

$15 x^{3}$ から $15 x^{3}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2} + 0}{h}$

ステップ 4.1.3

$15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4

$15 h$ を $15 h^{3} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.4.1

$15 h$ を $15 h^{3}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 45 h^{2} x + 45 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$15 h$ を $45 h^{2} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 45 h x^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$15 h$ を $45 h x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.4.4

$15 h$ を $15 h \cdot h^{2} + 15 h (3 h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.1.4.5

$15 h$ を $15 h (h^{2} + 3 h x) + 15 h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2

項を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{15 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

ステップ 4.2.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 15 (3 h x) + 15 (3 x^{2})$

ステップ 4.3

簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ に $15$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 15 (3 x^{2})$

ステップ 4.3.2

$3$ に $15$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 (h x) + 45 x^{2}$

ステップ 4.4

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 h^{2} + 45 x h + 45 x^{2}$

ステップ 4.5

$15 h^{2}$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x h + 45 x^{2} + 15 h^{2}$

ステップ 4.6

$45 x h$ と $45 x^{2}$ を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} 45 x^{2} + 45 x h + 15 h^{2}$

ステップ 5

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$lim_{h \to 0} 45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

ステップ 6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $45 x^{2}$ の極限値を求めます。

$45 x^{2} + lim_{h \to 0} 45 x h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

ステップ 7

$45 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 15 h^{2}$

ステップ 8

$15$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 lim_{h \to 0} h^{2}$

ステップ 9

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$45 x^{2} + 45 x lim_{h \to 0} h + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 10

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 10.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 {(lim_{h \to 0} h)}^{2}$

ステップ 10.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$45 x^{2} + 45 x \cdot 0 + 15 \cdot 0^{2}$

ステップ 11

答えを簡約します。

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ステップ 11.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.1.1

$45 x \cdot 0$ を掛けます。

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ステップ 11.1.1.1

$0$ に $45$ をかけます。

$45 x^{2} + 0 x + 15 \cdot 0^{2}$

ステップ 11.1.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0^{2}$

ステップ 11.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$45 x^{2} + 0 + 15 \cdot 0$

ステップ 11.1.3

$15$ に $0$ をかけます。

$45 x^{2} + 0 + 0$

ステップ 11.2

$45 x^{2} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 11.2.1

$45 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$45 x^{2} + 0$

ステップ 11.2.2

$45 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$45 x^{2}$

ステップ 12

微分積分 例

微分積分例