微分積分例

$f (θ) = θ \cos (θ) \sin (θ)$

ステップ 1

$f (θ) = θ \cos (θ)$ および $g (θ) = \sin (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$θ \cos (θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ)] + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 2

$θ$ に関する $\sin (θ)$ の微分係数は $\cos (θ)$ です。

$θ \cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 3

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$θ (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 4

$\cos (θ)$ を $1$ 乗します。

$θ (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ {\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 6

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) \frac{d}{d θ} [θ \cos (θ)]$

ステップ 7

$f (θ) = θ$ および $g (θ) = \cos (θ)$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ は $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ \frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

ステップ 8

$θ$ に関する $\cos (θ)$ の微分係数は $- \sin (θ)$ です。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \frac{d}{d θ} [θ])$

ステップ 9

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 9.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ は $n θ^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ) \cdot 1)$

ステップ 9.2

$\cos (θ)$ に $1$ をかけます。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ)) + \cos (θ))$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$θ \cos^{2} (θ) + \sin (θ) (θ (- \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 10.2

項をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 10.2.2

$\sin (θ)$ を $1$ 乗します。

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ))) + \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 10.2.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- {\sin (θ)}^{1 + 1}) + \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 10.2.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$θ \cos^{2} (θ) + θ (- \sin^{2} (θ)) + \sin (θ) \cos (θ)$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$θ \cos^{2} (θ) - θ \sin^{2} (θ) + \cos (θ) \sin (θ)$

微分積分 例

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