微分積分例

$f (x) = \cos (x)$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \cos (x + h)$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\cos (x + h)$ です。

$\cos (x + h)$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

$f (x + h) = \cos (x + h)$

$f (x) = \cos (x)$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h}$

ステップ 4

ロピタルの定理を当てはめます。

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ステップ 4.1

分子と分母の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - (\cos (x))}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2

分子の極限値を求めます。

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ステップ 4.1.2.1

極限を求めます。

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ステップ 4.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \cos (x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.1.2

余弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\cos (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - lim_{h \to 0} \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.1.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\cos (x)$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (x + lim_{h \to 0} h) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\cos (x + 0) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.3

$\cos (x + 0) - \cos (x)$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.2.3.1

$x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\cos (x) - \cos (x)}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.2.3.2

$\cos (x)$ から $\cos (x)$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 4.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 4.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\cos (x + h) - (\cos (x))}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 4.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h) - (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.2

総和則では、 $\cos (x + h) - (\cos (x))$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\cos (x + h)] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3

$\frac{d}{d h} [\cos (x + h)]$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.3.1

$f (h) = \cos (h)$ および $g (h) = x + h$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.3.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + h$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.1.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \frac{d}{d h} [x + h] + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.2

総和則では、 $x + h$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.3

$x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) (0 + 1) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.5

$0$ と $1$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + \frac{d}{d h} [- (\cos (x))]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.4

$- \cos (x)$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \cos (x)$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.5

$- \sin (x + h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 4.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- \sin (x + h)}{1}$

ステップ 4.4

$- \sin (x + h)$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - \sin (x + h)$

ステップ 5

極限を求めます。

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ステップ 5.1

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \sin (x + h)$

ステップ 5.2

正弦が連続なので、極限を三角関数の中に移動させます。

$- \sin (lim_{h \to 0} x + h)$

ステップ 5.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \sin (lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)$

ステップ 5.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \sin (x + lim_{h \to 0} h)$

ステップ 6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \sin (x + 0)$

ステップ 7

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \sin (x)$

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例