微分積分例

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $2 \sqrt{x + h}$ です。

$2 \sqrt{x + h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

$f (x + h) = 2 \sqrt{x + h}$

$f (x) = 2 \sqrt{x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 \sqrt{x + h} - (2 \sqrt{x})}{h}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + h}$ を ${(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 \sqrt{x})}{h}$

ステップ 4.2

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot (2 x^{\frac{1}{2}})}{h}$

ステップ 4.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

ステップ 4.4

$2$ を $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 4.4.1

$2$ を $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}}{h}$

ステップ 4.4.2

$2$ を $- 2 x^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})}{h}$

ステップ 4.4.3

$2$ を $2 {(x + h)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{\frac{1}{2}})$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$

ステップ 5

$\frac{2 ({(x + h)}^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{2}})}{h}$ の定義域に $0$ の左側の値がないので、極限はありません。

$存在しない$

ステップ 6

微分積分 例

微分積分例