微分積分例

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{2} e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = (x + h) (x + h) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = (x (x + h) + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h (x + h)) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = (x^{2} + x h + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = (x^{2} + h x + h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- (x + h)}$

ステップ 2.1.2.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = (x^{2} + 2 h x + h^{2}) e^{- x - h}$

ステップ 2.1.2.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

ステップ 2.1.2.6

最終的な答えは $x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$ です。

$x^{2} e^{- x - h} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$- x$ と $- h$ を並べ替えます。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- x - h} + h^{2} e^{- x - h}$

ステップ 2.2.2

$- x$ と $- h$ を並べ替えます。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- x - h}$

ステップ 2.2.3

$- x$ と $- h$ を並べ替えます。

$x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

$f (x + h) = x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x}$

$f (x) = x^{2} e^{- x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - (x^{2} e^{- x})}{h}$

ステップ 4

括弧を削除します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

$x^{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

指数に極限を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.6

$2 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.8

指数に極限を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.10

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.11

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.12

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.13

指数に極限を移動させます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.14

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.15

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.16

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2} e^{- x}$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.17

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.17.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.17.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.17.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.17.4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.17.5

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.18.1

$x^{2} e^{0 - x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.18.1.1

$0$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.1.2

$0$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{0 - x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.1.3

$0$ から $x$ を引きます。

$\frac{x^{2} e^{- x} + 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} - x^{2} e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.1.4

$x^{2} e^{- x}$ から $x^{2} e^{- x}$ を引きます。

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x} + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.1.5

$2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.18.2.1

$2 x \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.18.2.1.1

$0$ に $2$ をかけます。

$\frac{0 x \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.2.1.2

$0$ に $x$ をかけます。

$\frac{0 \cdot e^{- x} + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.2.2

$0$ に $e^{- x}$ をかけます。

$\frac{0 + 0^{2} \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.2.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$\frac{0 + 0 \cdot e^{- x}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.2.4

$0$ に $e^{- x}$ をかけます。

$\frac{0 + 0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.18.3

$0$ と $0$ をたし算します。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $x^{2} e^{- h - x} + 2 h x e^{- h - x} + h^{2} e^{- h - x} - x^{2} e^{- x}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [x^{2} e^{- h - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$x^{2}$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $x^{2} e^{- h - x}$ の微分係数は $x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = - h - x$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- h - x$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- h - x$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.3

総和則では、 $- h - x$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.4

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.6

$- x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ を $e^{- h - x}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.10

$- 1 e^{- h - x}$ を $- e^{- h - x}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$\frac{d}{d h} [2 h x e^{- h - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

$2 x$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h x e^{- h - x}$ の微分係数は $2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x \frac{d}{d h} [h e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.2

$f (h) = h$ および $g (h) = e^{- h - x}$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.3

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = - h - x$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- h - x$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{u_{2}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- h - x$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.4

総和則では、 $- h - x$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.5

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.7

$- x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.10

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.11

$- 1$ を $e^{- h - x}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.12

$- 1 e^{- h - x}$ を $- e^{- h - x}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} \cdot 1) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4.13

$e^{- h - x}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + \frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

$\frac{d}{d h} [h^{2} e^{- h - x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$f (h) = h^{2}$ および $g (h) = e^{- h - x}$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (h) g (h)]$ は $f (h) \frac{d}{d h} [g (h)] + g (h) \frac{d}{d h} [f (h)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} \frac{d}{d h} [e^{- h - x}] + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.2

$f (h) = e^{h}$ および $g (h) = - h - x$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{3}$ を $- h - x$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ は $a^{u_{3}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{u_{3}} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.2.3

$u_{3}$ のすべての発生を $- h - x$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \frac{d}{d h} [- h - x]) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.3

総和則では、 $- h - x$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (\frac{d}{d h} [- h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.4

$- 1$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $- h$ の微分係数は $- \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- x])) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.6

$- x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} \frac{d}{d h} [h^{2}] + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 \cdot 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.8

$- 1$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} (- 1 + 0)) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.9

$- 1$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (e^{- h - x} \cdot - 1) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.10

$- 1$ を $e^{- h - x}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- 1 \cdot e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.11

$- 1 e^{- h - x}$ を $- e^{- h - x}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + \frac{d}{d h} [- x^{2} e^{- x}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

$- x^{2} e^{- x}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- x^{2} e^{- x}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x}) + e^{- h - x}) + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) + 2 x (h (- e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.7.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h) + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7.2.2

$x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{x^{2} (- e^{- h - x}) - 2 x (h (e^{- h - x})) + 2 x e^{- h - x} + h^{2} (- e^{- h - x}) + e^{- h - x} (2 h)}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7.3

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.7.4

$- e^{- h - x} x^{2} - 2 e^{- h - x} h x + 2 e^{- h - x} x - e^{- h - x} h^{2} + 2 e^{- h - x} h$ の因数を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}}{1}$

ステップ 5.4

$- x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$ を $1$ で割ります。

$lim_{h \to 0} - x^{2} e^{- h - x} - 2 h x e^{- h - x} + 2 x e^{- h - x} - h^{2} e^{- h - x} + 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- lim_{h \to 0} x^{2} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.2

$x^{2}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- x^{2} lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.3

指数に極限を移動させます。

$- x^{2} e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.5

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} 2 h x e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.6

$2 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.8

指数に極限を移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.9

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.10

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 x e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.11

$2 x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x lim_{h \to 0} e^{- h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.12

指数に極限を移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{lim_{h \to 0} - h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.13

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.14

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.15

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - lim_{h \to 0} h^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.16

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を $h^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot lim_{h \to 0} e^{- h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.17

指数に極限を移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{lim_{h \to 0} - h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.18

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - lim_{h \to 0} x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.19

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + lim_{h \to 0} 2 h e^{- h - x}$

ステップ 6.20

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- x^{2} e^{- lim_{h \to 0} h - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h e^{- h - x}$

ステップ 6.21

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の積を利用して極限を分割します。

ステップ 6.22

指数に極限を移動させます。

ステップ 6.23

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

ステップ 6.24

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

ステップ 7

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{- lim_{h \to 0} h - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.4

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - {(lim_{h \to 0} h)}^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.5

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.6

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 lim_{h \to 0} h \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.7

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- lim_{h \to 0} h - x}$

ステップ 7.8

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

$- x^{2} e^{0 - x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1.1

$0$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{0 - x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

ステップ 8.1.2

$0$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{0 - x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

ステップ 8.1.3

$0$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{0 - x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

ステップ 8.1.4

$0$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0 - x}$

ステップ 8.1.5

$0$ から $x$ を引きます。

$- x^{2} e^{- x} - 1 \cdot 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} - 2 x \cdot 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.2

$- 2 x \cdot 0$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$0$ に $- 2$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 x \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.2.2

$0$ に $x$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.3

$0$ に $e^{- x}$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0^{2} \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.4

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} - 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.5

$- 1$ に $0$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 \cdot e^{- x} + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.6

$0$ に $e^{- x}$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 2 \cdot 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.7

$2$ に $0$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0 \cdot e^{- x}$

ステップ 8.2.8

$0$ に $e^{- x}$ をかけます。

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

ステップ 8.3

$- x^{2} e^{- x} + 0 + 2 x e^{- x} + 0 + 0$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$- x^{2} e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0 + 0$

ステップ 8.3.2

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 0$

ステップ 8.3.3

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$ と $0$ をたし算します。

$- x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例