微分積分例

$f (x) = \sqrt{2 x + 1}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \sqrt{2 (x + h) + 1}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \sqrt{2 x + 2 h + 1}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\sqrt{2 x + 2 h + 1}$ です。

$\sqrt{2 x + 2 h + 1}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \sqrt{2 x + 2 h + 1}$

$f (x) = \sqrt{2 x + 1}$

$f (x + h) = \sqrt{2 x + 2 h + 1}$

$f (x) = \sqrt{2 x + 1}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 2 h + 1} - (\sqrt{2 x + 1})}{h}$

ステップ 4

$- 1$ に $\sqrt{2 x + 1}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{h}$

ステップ 5

ロピタルの定理を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子と分母の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分子と分母の極限値をとります。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2

分子の極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 2 h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.2

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 2 x + 2 h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.3

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{\sqrt{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.4

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x + lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.5

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{\sqrt{2 x + 2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1} - lim_{h \to 0} \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.1.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $\sqrt{2 x + 1}$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x + 2 lim_{h \to 0} h + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{\sqrt{2 x + 2 \cdot 0 + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.3.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 x + 0 + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3.1.2

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.2.3.2

$\sqrt{2 x + 1}$ から $\sqrt{2 x + 1}$ を引きます。

$\frac{0}{lim_{h \to 0} h}$

ステップ 5.1.3

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.1.4

$0$ による除算を含む式です。式は未定義です。

未定義

$\frac{0}{0}$

ステップ 5.2

$\frac{0}{0}$ は不定形があるので、ロピタルの定理を当てはめます。ロピタルの定理は、関数の商の極限は微分係数の商の極限に等しいとしています。

$lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}}{h} = lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3

分子と分母の微分係数を求めます。

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ステップ 5.3.1

分母と分子を微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.2

総和則では、 $\sqrt{2 x + 2 h + 1} - \sqrt{2 x + 1}$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [\sqrt{2 x + 2 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [\sqrt{2 x + 2 h + 1}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3

$\frac{d}{d h} [\sqrt{2 x + 2 h + 1}]$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 2 h + 1}$ を ${(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d h} [{(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2

$f (h) = h^{\frac{1}{2}}$ および $g (h) = 2 x + 2 h + 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ は $f' (g (h)) g' (h)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.3.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x + 2 h + 1$ とします。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d h} [2 x + 2 h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [2 x + 2 h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x + 2 h + 1$ で置き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d h} [2 x + 2 h + 1] + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.3

総和則では、 $2 x + 2 h + 1$ の $h$ に関する積分は $\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [1]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d h} [2 x] + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.4

$2 x$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $2 x$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d h} [2 h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.5

$2$ は $h$ に対して定数なので、 $h$ に対する $2 h$ の微分係数は $2 \frac{d}{d h} [h]$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d h} [1]) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.7

$1$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.8

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.9

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.10

公分母の分子をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.11.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.11.2

$1$ から $2$ を引きます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.12

分数の前に負数を移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.13

$2$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 2 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.14

$0$ と $2$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.15

$2$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{2} {(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.16

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.17

$\frac{{(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{{(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.18

$2$ を ${(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 \cdot {(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.19

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 2 h + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.20

共通因数を約分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{2 {(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.3.21

式を書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d h} [- \sqrt{2 x + 1}]}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.4

$- \sqrt{2 x + 1}$ は $h$ について定数なので、 $h$ について $- \sqrt{2 x + 1}$ の微分係数は $0$ です。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$\frac{1}{{(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $0$ をたし算します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 x + 2 h + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.5.2

項を並べ替えます。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 h + 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d h} [h]}$

ステップ 5.3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ は $n h^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(2 h + 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

ステップ 5.4

分子に分母の逆数を掛けます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{{(2 h + 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 5.5

${(2 h + 2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ を $\sqrt{2 h + 2 x + 1}$ に書き換えます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 h + 2 x + 1}} \cdot 1$

ステップ 5.6

$\frac{1}{\sqrt{2 h + 2 x + 1}}$ に $1$ をかけます。

$lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{2 h + 2 x + 1}}$

ステップ 6

極限を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$\frac{lim_{h \to 0} 1}{lim_{h \to 0} \sqrt{2 h + 2 x + 1}}$

ステップ 6.2

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{lim_{h \to 0} \sqrt{2 h + 2 x + 1}}$

ステップ 6.3

根号の下に極限を移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 2 h + 2 x + 1}}$

ステップ 6.4

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$\frac{1}{\sqrt{lim_{h \to 0} 2 h + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 1}}$

ステップ 6.5

$2$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} 1}}$

ステップ 6.6

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{h \to 0} h + 2 x + lim_{h \to 0} 1}}$

ステップ 6.7

$h$ が $0$ に近づくと定数である $1$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{2 lim_{h \to 0} h + 2 x + 1}}$

ステップ 7

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$\frac{1}{\sqrt{2 \cdot 0 + 2 x + 1}}$

ステップ 8

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

分母を簡約します。

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ステップ 8.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{0 + 2 x + 1}}$

ステップ 8.1.2

$0$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 8.2

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{2 x + 1}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}} \cdot \frac{\sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 8.3

分母を組み合わせて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.1

$\frac{1}{\sqrt{2 x + 1}}$ に $\frac{\sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{2 x + 1}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{\sqrt{2 x + 1} \sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 8.3.2

$\sqrt{2 x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{\sqrt{2 x + 1}}^{1} \sqrt{2 x + 1}}$

ステップ 8.3.3

$\sqrt{2 x + 1}$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{\sqrt{2 x + 1}}^{1} {\sqrt{2 x + 1}}^{1}}$

ステップ 8.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{\sqrt{2 x + 1}}^{1 + 1}}$

ステップ 8.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{\sqrt{2 x + 1}}^{2}}$

ステップ 8.3.6

${\sqrt{2 x + 1}}^{2}$ を $2 x + 1$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 1}$ を ${(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{({(2 x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 8.3.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 8.3.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.3.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{(2 x + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 8.3.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{{(2 x + 1)}^{1}}$

ステップ 8.3.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{2 x + 1}}{2 x + 1}$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例