微分積分例

$f (x) = \frac{4 x - 2 x^{2} + 6}{2 x}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$4 (x + h) - 2 {(x + h)}^{2} + 6$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

$2$ を $4 (x + h)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2 {(x + h)}^{2} + 6}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.2

$2$ を $- 2 {(x + h)}^{2}$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.3

$2$ を $2 (2 (x + h)) + 2 (- {(x + h)}^{2})$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 6}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.4

$2$ を $6$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 \cdot 3}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.5

$2$ を $2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2}) + 2 (3)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.6.1

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3)}{2 (x + h)}$

ステップ 2.1.2.1.6.2

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{2 (x + h) - {(x + h)}^{2} + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$u = x + h$ とします。 $u$ を $x + h$ に代入します。

$f (x + h) = \frac{2 u - u^{2} + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.1

項を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 u + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.2.1

$2$ を $2 u$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + 2 (u) + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.2.2

$2$ を $- 1$ プラス $3$ に書き換える

$f (x + h) = \frac{- u^{2} + (- 1 + 3) u + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{- u^{2} - 1 u + 3 u + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$f (x + h) = \frac{(- u^{2} - 1 u) + 3 u + 3}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$f (x + h) = \frac{u (- u - 1) - 3 (- u - 1)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.2.4

最大公約数 $- u - 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- u - 1) (u - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + h$ で置き換えます。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.2.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{(- x - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - h - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.2

$- 1$ を $- h$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x) - (h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.3

$- 1$ を $- (x) - (h)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.4

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{(- (x + h) - 1 \cdot 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.5

$- 1$ を $- (x + h) - 1 (1)$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.6.1

$- (x + h + 1)$ を $- 1 (x + h + 1)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{- 1 (x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.3.6.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.1.2.4

最終的な答えは $- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ です。

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

$f (x + h) = - \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$

$f (x) = - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} - (- \frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$- - \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + 1 (\frac{(x + 1) (x - 3)}{x})}{h}$

ステップ 4.1.1.2

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x}}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.4.1

$\frac{(x + h + 1) (x + h - 3)}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3)}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{(x + 1) (x - 3)}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{(x + h) x} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(x + h + 1) (x + h - 3) x}{x (x + h)} + \frac{(x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $\frac{- (x + h + 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1 \cdot 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x - h - 1) (x + h - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.3

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(- x - h - 1) (x + h - 3)$ を展開します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x \cdot x - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- (x \cdot x) - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - x \cdot - 3 - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.2

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h \cdot h - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.3

指数を足して $h$ に $h$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.4.3.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - (h \cdot h) - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.3.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} - h \cdot - 3 - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.4

$- 3$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - 1 x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.5

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - 1 h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.6

$- 1 h$ を $- h$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h - 1 \cdot - 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.7

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h + 3 x - h x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.5

$- x h$ から $h x$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.5.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - x h - 1 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.5.2

$- x h$ から $x h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 3 x - h^{2} + 3 h - x - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6

$3 x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 3 h - h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.7

$3 h$ から $h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{(- x^{2} - 2 x h + 2 x - h^{2} + 2 h + 3) x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.8

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} x - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.9.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.9.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.9.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- (x \cdot x^{2}) - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{1 + 2} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x h x + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.9.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 (x \cdot x) h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x \cdot x - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.3

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.9.3.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 (x \cdot x) - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9.3.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x + 1) (x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.10

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 1) (x - 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x (x - 3) + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.10.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 (x - 3)) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.10.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x \cdot x + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.11.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} + x \cdot - 3 + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11.1.2

$- 3$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11.1.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 3 x + x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11.2

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + (x^{2} - 2 x - 3) (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.12

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} - 2 x - 3) (x + h)$ を展開します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.13.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.13.1.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.13.1.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} x + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2 + 1} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.1.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x \cdot x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.13.2.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 (x \cdot x) - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{3} - 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{3} + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.14

$- x^{3}$ と $x^{3}$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.15

$- 2 x^{2} h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- 2 x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x + x^{2} h - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.16

$- 2 x^{2} h$ と $x^{2} h$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h + 2 x^{2} - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x^{2} - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.17

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x + 0 - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.18

$- x^{2} h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 2 h x + 3 x - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.19

$2 h x$ から $2 x h$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.19.1

$h$ を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 2 x h - 2 x h - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.19.2

$2 x h$ から $2 x h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x + 0 - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.20

$- x^{2} h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 3 x - 3 x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.21

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x + 0 - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.22

$- x^{2} h$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{- x^{2} h - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.23

$h$ を $- x^{2} h - h^{2} x - 3 h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.6.23.1

$h$ を $- x^{2} h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) - h^{2} x - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.23.2

$h$ を $- h^{2} x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) - 3 h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.23.3

$h$ を $- 3 h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2}) + h (- h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.23.4

$h$ を $h (- x^{2}) + h (- h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6.23.5

$h$ を $h (- x^{2} - h x) + h \cdot - 3$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3)}{x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

ステップ 4.4

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h) h}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(- x^{2} - h x - 3) \cdot 1}{x (x + h)}$

ステップ 4.5

$- x^{2} - h x - 3$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- x^{2} - h x - 3}{x (x + h)}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - h x - 3}{x (x + h)}$

ステップ 4.7

$- 1$ を $- h x$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2}) - (h x) - 3}{x (x + h)}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (x^{2}) - (h x)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 3}{x (x + h)}$

ステップ 4.9

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x) - 1 \cdot 3}{x (x + h)}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (x^{2} + h x) - 1 (3)$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

ステップ 4.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.11.1

$- (x^{2} + h x + 3)$ を $- 1 (x^{2} + h x + 3)$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- 1 (x^{2} + h x + 3)}{x (x + h)}$

ステップ 4.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

ステップ 5

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x (x + h)}$

ステップ 6

$\frac{1}{x}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{x} lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + h x + 3}{x + h}$

ステップ 7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + h x + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 8

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{lim_{h \to 0} x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x^{2}$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + lim_{h \to 0} h x + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 10

$x$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 11

$h$ が $0$ に近づくと定数である $3$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + h}$

ステップ 12

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 13

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x lim_{h \to 0} h + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 14

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + lim_{h \to 0} h}$

ステップ 14.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + x \cdot 0 + 3}{x + 0}$

ステップ 15

答えを簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.1.1

$x$ に $0$ をかけます。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 0 + 3}{x + 0}$

ステップ 15.1.2

$x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x + 0}$

ステップ 15.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$

ステップ 15.3

$- \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 3}{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 15.3.1

$\frac{x^{2} + 3}{x}$ に $\frac{1}{x}$ をかけます。

$- \frac{x^{2} + 3}{x \cdot x}$

ステップ 15.3.2

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x}$

ステップ 15.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1} x^{1}}$

ステップ 15.3.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{1 + 1}}$

ステップ 15.3.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{x^{2} + 3}{x^{2}}$

ステップ 16

微分積分 例

微分積分例