微分積分例

$y = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 1

微分係数の極限定義を考えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$ です。

$\frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

$f (x + h) = \frac{1}{{(x + h)}^{2}}$

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{{(x + h)}^{2}} - (\frac{1}{x^{2}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$\frac{1^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ を ${(\frac{1}{x + h})}^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - \frac{1}{x^{2}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{x^{2}}$ を ${(\frac{1}{x})}^{2}$ に書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{{(\frac{1}{x + h})}^{2} - {(\frac{1}{x})}^{2}}{h}$

ステップ 4.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = \frac{1}{x + h}$ であり、 $b = \frac{1}{x}$ です。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.2

$\frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.4

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$x$ と $x$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.5.8.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 4.1.5.8.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 4.1.5.8.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 4.1.5.9

公分母の分子をまとめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

因数分解した形で $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.10.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10.2

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10.3

$0$ から $h$ を引きます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot (- 1 \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 4.1.7

指数をまとめます。

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ステップ 4.1.7.1

負をくくり出します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 4.1.7.2

$\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ に $\frac{h}{x (x + h)}$ をかけます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

ステップ 4.1.7.3

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.7.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x \cdot x (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.7.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.7.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 4.1.7.7

$x + h$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

ステップ 4.1.7.8

$x + h$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ((x + h) (x + h))}}{h}$

ステップ 4.1.7.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

ステップ 4.1.7.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- (2 x + h) h$ で因数分解します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = lim_{h \to 0} - \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 5

$- 1$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 6

$\frac{1}{x^{2}}$ の項は $h$ に対して一定なので、極限の外に移動させます。

$- \frac{1}{x^{2}} lim_{h \to 0} \frac{2 x + h}{{(x + h)}^{2}}$

ステップ 7

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の商の法則を利用して極限を分割します。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 8

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{lim_{h \to 0} 2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 9

$h$ が $0$ に近づくと定数である $2 x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{lim_{h \to 0} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 10

極限べき乗則を利用して、指数 $2$ を ${(x + h)}^{2}$ から極限値外側に移動させます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + h)}^{2}}$

ステップ 11

$h$ が $0$ に近づいたら、極限で極限の法則の和を利用して分解します。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(lim_{h \to 0} x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

ステップ 12

$h$ が $0$ に近づくと定数である $x$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + lim_{h \to 0} h}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

ステップ 13

すべての $h$ に $0$ に代入し、極限値を求めます。

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ステップ 13.1

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + lim_{h \to 0} h)}^{2}}$

ステップ 13.2

$h$ を $0$ に代入し、 $h$ の極限値を求めます。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x + 0}{{(x + 0)}^{2}}$

ステップ 14

答えを簡約します。

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ステップ 14.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{{(x + 0)}^{2}}$

ステップ 14.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 14.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 14.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 1}{x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 14.3.2

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{2 x}{x^{2}}$

ステップ 14.3.3

$x$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 14.3.4

共通因数を約分します。

$\frac{- 1}{x \cdot x} \cdot \frac{x \cdot 2}{x^{2}}$

ステップ 14.3.5

式を書き換えます。

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{2}{x^{2}}$

ステップ 14.4

$\frac{- 1}{x}$ に $\frac{2}{x^{2}}$ をかけます。

$\frac{- 1 \cdot 2}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 14.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2}{x \cdot x^{2}}$

ステップ 14.6

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 14.6.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- 2}{x^{1} x^{2}}$

ステップ 14.6.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- 2}{x^{1 + 2}}$

ステップ 14.6.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{- 2}{x^{3}}$

ステップ 14.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{x^{3}}$

ステップ 15

微分積分 例

微分積分例