微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 2 x + 1$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.11.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 2)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x - 2) - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.3

$- 2$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x - 2 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1.5

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 4 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

$- 2 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.4

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 4 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$2 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 6 x + 4 + 2 x - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$- 6 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 x + 4 - 1}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.4

$4$ から $1$ を引きます。

$\frac{x^{2} - 4 x + 3}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} - 4 x + 3$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $3$ で、その和が $- 4$ です。

$- 3, - 1$

ステップ 1.1.1.3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$f' (x) = \frac{(x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$f (x) = (x - 3) (x - 1)$ および $g (x) = {(x - 2)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{({(x - 2)}^{2})}^{2}}$

ステップ 1.1.2.2

${({(x - 2)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 1.1.2.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} \frac{d}{d x} [(x - 3) (x - 1)] - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.3

$f (x) = x - 3$ および $g (x) = x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} ((x - 3) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.4.2

$x - 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 3]) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.5

総和則では、 $x - 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ です。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.7

$- 3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) (1 + 0)) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + (x - 1) \cdot 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.2

$x - 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (x - 3 + x - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 3 - 1) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.4.8.4

$- 3$ から $1$ を引きます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2}]}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x - 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 2$ とします。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 u \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $x - 2$ で置き換えます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - (x - 3) (x - 1) (2 (x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{{(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{2} (2 x - 4)$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) - 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$x - 2$ を $- 2 (x - 3) (x - 1) ((x - 2) \frac{d}{d x} [x - 2])$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.6.2.3

$x - 2$ を $(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4)) + (x - 2) (- 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{{(x - 2)}^{4}}$

ステップ 1.1.2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$x - 2$ を ${(x - 2)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{(x - 2) ((x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2]))}{(x - 2) {(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.7.3

式を書き換えます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x - 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $x - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.10

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) (1 + 0)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.11

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.11.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1) \cdot 1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.11.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) - 2 (x - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x - 2) (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 2) (2 x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x - 4) - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x - 4) + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 4 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.3

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 4 \cdot x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.4

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x - 2 \cdot - 4 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.1.5

$- 2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 4 x - 4 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.2.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x - 2 \cdot - 3) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.3

$- 2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 + (- 2 x + 6) (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4

分配法則（FOIL法）を使って $(- 2 x + 6) (x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x (x - 1) + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 (x - 1)}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.4.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.2

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x + 6 \cdot - 1}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.1.3

$6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 2 x + 6 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.1.5.2

$2 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2

$2 x^{2} - 8 x + 8 - 2 x^{2} + 8 x - 6$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.12.2.2.1

$2 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- 8 x + 8 + 0 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.2

$- 8 x + 8$ と $0$ をたし算します。

$\frac{- 8 x + 8 + 8 x - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.3

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$\frac{0 + 8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.2.4

$0$ と $8$ をたし算します。

$\frac{8 - 6}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.12.2.3

$8$ から $6$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$ です。

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2}{{(x - 2)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 1.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 2}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x - 2 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

区間記号：

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 2}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 2)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{2}{{((0) - 2)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$0$ から $2$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{2}{- 8}$

ステップ 4.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2$ と $- 8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{2 (1)}{- 8}$

ステップ 4.2.2.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.2.1

$2$ を $- 8$ で因数分解します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.2.2.1.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 4}$

ステップ 4.2.2.1.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = \frac{1}{- 4}$

ステップ 4.2.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (0) = - \frac{1}{4}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{4}$ です。

$- \frac{1}{4}$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, 2)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(2, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{2}{{((4) - 2)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$4$ から $2$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{2}{2^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{2}{8}$

ステップ 5.2.2

$2$ と $8$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{2 (1)}{8}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.2.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (4) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (4) = \frac{1}{4}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 5.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(2, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, 2)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(2, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例