微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - 1$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(2 x - 1) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$2$ を $2 x - 1$ の左に移動させます。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((2 x - 1) x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.9

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.10

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.10.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.10.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 1) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x) x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.1.4

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{4 x^{2} - 2 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$4 x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

$2$ を $2 x^{2} - 2 x + 2$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

$2$ を $2 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) - 2 x + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.3

$2$ を $2$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2}) + 2 (- x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.4

$2$ を $2 (x^{2}) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x) + 2 (1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.5

$2$ を $2 (x^{2} - x) + 2 (1)$ で因数分解します。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2} - x + 1}{{(2 x - 1)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{2} - x + 1$ および $g (x) = {(2 x - 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{({(2 x - 1)}^{2})}^{2}})$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

${({(2 x - 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2 \cdot 2}})$

ステップ 1.1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - x + 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x^{2} - x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.6

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1 + 0) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.3.8

$2 x - 1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4

指数を足して ${(2 x - 1)}^{2}$ に $2 x - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1

${(2 x - 1)}^{2}$ に $2 x - 1$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.4.1.1

$2 x - 1$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} (2 x - 1) - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2 + 1} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.4.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) \frac{d}{d x} {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 2 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x - 1$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 u \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $2 x - 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - (x^{2} - x + 1) (2 (2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.6

くくりだして簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.6.2

$2 x - 1$ を ${(2 x - 1)}^{3} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.6.2.1

$2 x - 1$ を ${(2 x - 1)}^{3}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.6.2.2

$2 x - 1$ を $- 2 (x^{2} - x + 1) ((2 x - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1])$ で因数分解します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.6.2.3

$2 x - 1$ を $(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2} + (2 x - 1) (- 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x - 1]))$ で因数分解します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{{(2 x - 1)}^{4}})$

ステップ 1.1.2.7

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.7.1

$2 x - 1$ を ${(2 x - 1)}^{4}$ で因数分解します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.7.2

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(2 x - 1) ({(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1)))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.7.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x - 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.8

総和則では、 $2 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.9

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.11

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.12

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.13

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.13.1

$2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 2 (x^{2} - x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.13.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

ステップ 1.1.2.13.3

$2$ と $\frac{{(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 (x^{2} - x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 ({(2 x - 1)}^{2} - 4 x^{2} - 4 (- x) - 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 {(2 x - 1)}^{2} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.1

${(2 x - 1)}^{2}$ を $(2 x - 1) (2 x - 1)$ に書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 ((2 x - 1) (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x - 1) (2 x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x - 1) - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x - 1)) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 x (2 x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.2

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.2.2

$x$ に $x$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.3

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 2 x - 2 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.3.2

$- 2 x$ から $2 x$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2} - 4 x + 1) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.4

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (4 x^{2}) + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.5.1

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.5.2

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 \cdot 1 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.5.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.6

$- 4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (- 4 (- x)) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.7

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 2 (4 x) + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.8

$4$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 (- 4 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.9

$2 (- 4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.1.9.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x + 2 \cdot - 4}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.1.9.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.2

$8 x^{2} - 8 x + 2 - 8 x^{2} + 8 x - 8$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.14.3.2.1

$8 x^{2}$ から $8 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 0 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.2.2

$- 8 x + 2$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{- 8 x + 2 + 8 x - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.2.3

$- 8 x$ と $8 x$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{0 + 2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.2.4

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{2 - 8}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.3.3

$2$ から $8$ を引きます。

$f'' (x) = \frac{- 6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.14.4

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$ です。

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{6}{{(2 x - 1)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$6 = 0$

ステップ 1.2.3

$6 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x^{2} - 1}{2 x - 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$2 x - 1 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

方程式の両辺に $1$ を足します。

$2 x = 1$

ステップ 2.2.2

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$2 x = 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{1}{2}$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

区間記号：

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq \frac{1}{2}}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(2 (0) - 1)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(0 - 1)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = - \frac{6}{{(- 1)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.3

$- 1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{6}{- 1}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$6$ を $- 1$ で割ります。

$f'' (0) = 6$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (0) = 6$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \frac{1}{2})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{1}{2})$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{1}{2}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = - \frac{6}{{(2 (3) - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = - \frac{6}{{(6 - 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$6$ から $1$ を引きます。

$f'' (3) = - \frac{6}{5^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (3) = - \frac{6}{125}$

ステップ 5.2.2

最終的な答えは $- \frac{6}{125}$ です。

$- \frac{6}{125}$

ステップ 5.3

$f'' (3)$ が負なので、区間 $(\frac{1}{2}, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{1}{2}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \frac{1}{2})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{1}{2}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

微分積分例