微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.1.1.1

$\frac{1}{x^{4}}$ を ${(x^{4})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.1.1.2

${(x^{4})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.1.1.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [x^{4 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.1.1.2.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

ステップ 1.1.1.2

$n = - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 x^{- 5}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 4 \frac{1}{x^{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{x^{5}}$ をまとめます。

$\frac{- 4}{x^{5}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{4}{x^{5}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{4}{x^{5}}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ です。

$- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

ステップ 1.1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{5}}$ を ${(x^{5})}^{- 1}$ に書き換えます。

$- 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2

${(x^{5})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{5 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.2.2.2

$5$ に $- 1$ をかけます。

$- 4 \frac{d}{d x} [x^{- 5}]$

ステップ 1.1.2.3

$n = - 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 4 (- 5 x^{- 6})$

ステップ 1.1.2.4

$- 5$ に $- 4$ をかけます。

$20 x^{- 6}$

ステップ 1.1.2.5

簡約します。

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ステップ 1.1.2.5.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$20 \frac{1}{x^{6}}$

ステップ 1.1.2.5.2

$20$ と $\frac{1}{x^{6}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{20}{x^{6}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{20}{x^{6}}$ です。

$\frac{20}{x^{6}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{20}{x^{6}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{20}{x^{6}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$20 = 0$

ステップ 1.2.3

$20 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{1}{x^{4}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{1}{x^{4}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{4} = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

ステップ 2.2.2

$\pm \sqrt[4]{0}$ を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$0$ を $0^{4}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

ステップ 2.2.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm 0$

ステップ 2.2.2.3

プラスマイナス $0$ は $0$ です。

$x = 0$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

区間記号：

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 0}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = \frac{20}{{(- 2)}^{6}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$- 2$ を $6$ 乗します。

$f'' (- 2) = \frac{20}{64}$

ステップ 4.2.2

$20$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{4 (5)}{64}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

ステップ 4.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

ステップ 4.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 2) = \frac{5}{16}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{16}$ です。

$\frac{5}{16}$

ステップ 4.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = \frac{20}{{(2)}^{6}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ を $6$ 乗します。

$f'' (2) = \frac{20}{64}$

ステップ 5.2.2

$20$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $20$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{4 (5)}{64}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$4$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (2) = \frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 16}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (2) = \frac{5}{16}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{5}{16}$ です。

$\frac{5}{16}$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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