微分積分例

$f (x) = x^{14} + 8 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{14} + 8 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{14}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 14$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 x^{13} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{2}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$14 x^{13} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 x^{13} + 8 (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $8$ をかけます。

$f' (x) = 14 x^{13} + 16 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $14 x^{13} + 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [14 x^{13}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$14$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $14 x^{13}$ の微分係数は $14 \frac{d}{d x} [x^{13}]$ です。

$14 \frac{d}{d x} [x^{13}] + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 13$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$14 (13 x^{12}) + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$13$ に $14$ をかけます。

$182 x^{12} + \frac{d}{d x} [16 x]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [16 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.3.1

$16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $16 x$ の微分係数は $16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$182 x^{12} + 16 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$182 x^{12} + 16 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 182 x^{12} + 16$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $182 x^{12} + 16$ です。

$182 x^{12} + 16$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $182 x^{12} + 16 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$182 x^{12} + 16 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $16$ を引きます。

$182 x^{12} = - 16$

ステップ 1.2.3

$182 x^{12} = - 16$ の各項を $182$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1

$182 x^{12} = - 16$ の各項を $182$ で割ります。

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$182$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{182 x^{12}}{182} = \frac{- 16}{182}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{12}$ を $1$ で割ります。

$x^{12} = \frac{- 16}{182}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1

$- 16$ と $182$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.1

$2$ を $- 16$ で因数分解します。

$x^{12} = \frac{2 (- 8)}{182}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$2$ を $182$ で因数分解します。

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{12} = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 91}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{12} = \frac{- 8}{91}$

ステップ 1.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{12} = - \frac{8}{91}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

ステップ 1.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

ステップ 1.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

ステップ 1.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}, - \sqrt[12]{- \frac{8}{91}}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 182 {(0)}^{12} + 16$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 182 \cdot 0 + 16$

ステップ 4.2.1.2

$182$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 16$

ステップ 4.2.2

$0$ と $16$ をたし算します。

$f'' (0) = 16$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $16$ です。

$16$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

グラフは上に凹です。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例