微分積分例

$f (x) = x^{12} + 5 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{12} + 5 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{12}] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 12$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{11} + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$12 x^{11} + 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x^{11} + 5 (2 x)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 12 x^{11} + 10 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $12 x^{11} + 10 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ です。

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [12 x^{11}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $12 x^{11}$ の微分係数は $12 \frac{d}{d x} [x^{11}]$ です。

$12 \frac{d}{d x} [x^{11}] + \frac{d}{d x} [10 x]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 11$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 (11 x^{10}) + \frac{d}{d x} [10 x]$

ステップ 1.1.2.2.3

$11$ に $12$ をかけます。

$132 x^{10} + \frac{d}{d x} [10 x]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [10 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$132 x^{10} + 10 \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$132 x^{10} + 10 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 132 x^{10} + 10$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $132 x^{10} + 10$ です。

$132 x^{10} + 10$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $132 x^{10} + 10 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$132 x^{10} + 10 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $10$ を引きます。

$132 x^{10} = - 10$

ステップ 1.2.3

$132 x^{10} = - 10$ の各項を $132$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$132 x^{10} = - 10$ の各項を $132$ で割ります。

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 10}{132}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$132$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{132 x^{10}}{132} = \frac{- 10}{132}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{10}$ を $1$ で割ります。

$x^{10} = \frac{- 10}{132}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 10$ と $132$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$2$ を $- 10$ で因数分解します。

$x^{10} = \frac{2 (- 5)}{132}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$2$ を $132$ で因数分解します。

$x^{10} = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 66}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{10} = \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 66}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{10} = \frac{- 5}{66}$

ステップ 1.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x^{10} = - \frac{5}{66}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt[10]{- \frac{5}{66}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt[10]{- \frac{5}{66}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$- 1$ を $i^{10}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt[10]{i^{10} \frac{5}{66}}$

ステップ 1.2.5.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt[10]{\frac{5}{66}}$

ステップ 1.2.5.3

$\sqrt[10]{\frac{5}{66}}$ を $\frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

ステップ 1.2.5.4

$i$ と $\frac{\sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}, - \frac{i \sqrt[10]{5}}{\sqrt[10]{66}}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 132 {(0)}^{10} + 10$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 132 \cdot 0 + 10$

ステップ 4.2.1.2

$132$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 10$

ステップ 4.2.2

$0$ と $10$ をたし算します。

$f'' (0) = 10$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $10$ です。

$10$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

グラフは上に凹です。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例