微分積分例

$f (x) = x^{2} {(x + 3)}^{5}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = {(x + 3)}^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{5}] + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (5 u^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4} \cdot 1) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.4.2

$5$ に $1$ をかけます。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 1.1.1.3.5

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + {(x + 3)}^{5} (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.6

$2$ を ${(x + 3)}^{5}$ の左に移動させます。

$x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 \cdot {(x + 3)}^{5} x$

ステップ 1.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$x {(x + 3)}^{4}$ を $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4}) + 2 {(x + 3)}^{5} x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1.1

$x {(x + 3)}^{4}$ を $x^{2} (5 {(x + 3)}^{4})$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 2 {(x + 3)}^{5} x$

ステップ 1.1.1.4.1.2

$x {(x + 3)}^{4}$ を $2 {(x + 3)}^{5} x$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$

ステップ 1.1.1.4.1.3

$x {(x + 3)}^{4}$ を $x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x {(x + 3)}^{4} (2 (x + 3))$ で因数分解します。

$x {(x + 3)}^{4} (x \cdot (5) + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.1.4.2

$5$ を $x$ の左に移動させます。

$f' (x) = x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 (x + 3))$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 2 \cdot 3)]$

ステップ 1.1.2.1.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (5 x + 2 x + 6)]$

ステップ 1.1.2.1.2

$5 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4} (7 x + 6)]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x {(x + 3)}^{4}$ および $g (x) = 7 x + 6$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [7 x + 6] + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

総和則では、 $7 x + 6$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]$ です。

$x {(x + 3)}^{4} (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.2

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x {(x + 3)}^{4} (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x {(x + 3)}^{4} (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.4

$7$ に $1$ をかけます。

$x {(x + 3)}^{4} (7 + \frac{d}{d x} [6]) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.5

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$x {(x + 3)}^{4} (7 + 0) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.6

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.6.1

$7$ と $0$ をたし算します。

$x {(x + 3)}^{4} \cdot 7 + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.3.6.2

$7$ を $x {(x + 3)}^{4}$ の左に移動させます。

$7 \cdot (x {(x + 3)}^{4}) + (7 x + 6) \frac{d}{d x} [x {(x + 3)}^{4}]$

ステップ 1.1.2.4

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x + 3)}^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x \frac{d}{d x} [{(x + 3)}^{4}] + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.5

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = x + 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 3$ とします。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.5.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $x + 3$ で置き換えます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [x + 3]) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6

微分します。

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ステップ 1.1.2.6.1

総和則では、 $x + 3$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ です。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [3])) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} (1 + 0)) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.6.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3} \cdot 1) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6.4.2

$4$ に $1$ をかけます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 1.1.2.6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4} \cdot 1)$

ステップ 1.1.2.6.6

${(x + 3)}^{4}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ です。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4}) = 0$

ステップ 1.2.2

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (x (4 {(x + 3)}^{3}) + {(x + 3)}^{4})$ を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.2.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + (7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

ステップ 1.2.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(7 x + 6) (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4})$ を展開します。

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ステップ 1.2.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

ステップ 1.2.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3} + {(x + 3)}^{4}) = 0$

ステップ 1.2.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x (4 x {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.2.1.3.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 1.2.2.1.3.1.1

$x$ を移動させます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 (x \cdot x) (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 x^{2} (4 {(x + 3)}^{3}) + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 7 \cdot 4 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3.3

$7$ に $4$ をかけます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 6 (4 x {(x + 3)}^{3}) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.1.3.4

$4$ に $6$ をかけます。

$7 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 7 x {(x + 3)}^{4} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.2.2

$7 x {(x + 3)}^{4}$ と $7 x {(x + 3)}^{4}$ をたし算します。

$14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.3

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.2.3.1

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $14 x {(x + 3)}^{4} + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.1.1

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $14 x {(x + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 28 x^{2} {(x + 3)}^{3} + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.3.1.2

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $28 x^{2} {(x + 3)}^{3}$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 24 x {(x + 3)}^{3} + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.3.1.3

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $24 x {(x + 3)}^{3}$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 6 {(x + 3)}^{4} = 0$

ステップ 1.2.3.1.4

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $6 {(x + 3)}^{4}$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.1.5

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3)) + 2 {(x + 3)}^{3} (14 x^{2})$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.1.6

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2}) + 2 {(x + 3)}^{3} (12 x)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.1.7

$2 {(x + 3)}^{3}$ を $2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x) + 2 {(x + 3)}^{3} (3 (x + 3))$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 14 x^{2} + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.2

$7 x$ を $7 x (x + 3) + 14 x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1

$7 x$ を $14 x^{2}$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3) + 7 x (2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.2.2

$7 x$ を $7 x (x + 3) + 7 x (2 x)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (x + 3 + 2 x) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.3

$x$ と $2 x$ をたし算します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 x + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.4

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1

$3$ を $3 x + 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.4.1.1

$3$ を $3 x$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.4.1.2

$3$ を $3$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x) + 3 (1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.4.1.3

$3$ を $3 (x) + 3 (1)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.4.2

不要な括弧を削除します。

$2 {(x + 3)}^{3} (7 x \cdot (3 (x + 1)) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.5

$3$ に $7$ をかけます。

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 12 x + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.6

$3$ を $12 x + 3 (x + 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.6.1

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x) + 3 (x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.6.2

$3$ を $3 (4 x) + 3 (x + 3)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (4 x + x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.7

$4 x$ と $x$ をたし算します。

$2 {(x + 3)}^{3} (21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.8

$3$ を $21 x (x + 1) + 3 (5 x + 3)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.8.1

$3$ を $21 x (x + 1)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.8.2

$3$ を $3 (7 x (x + 1)) + 3 (5 x + 3)$ で因数分解します。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x (x + 1) + 5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.9

分配則を当てはめます。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x \cdot x + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.10

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.10.1

$x$ を移動させます。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.10.2

$x$ に $x$ をかけます。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x \cdot 1 + 5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.11

$7$ に $1$ をかけます。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 7 x + 5 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.12

因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.12.1

$7 x$ と $5 x$ をたし算します。

$2 {(x + 3)}^{3} (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.12.2

不要な括弧を削除します。

$2 {(x + 3)}^{3} \cdot (3 (7 x^{2} + 12 x + 3)) = 0$

ステップ 1.2.3.13

$3$ に $2$ をかけます。

$6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$

ステップ 1.2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

${(x + 3)}^{3} = 0$

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5

${(x + 3)}^{3}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.1

${(x + 3)}^{3}$ が $0$ に等しいとします。

${(x + 3)}^{3} = 0$

ステップ 1.2.5.2

$x$ について ${(x + 3)}^{3} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.5.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 1.2.5.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 1.2.6

$7 x^{2} + 12 x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.1

$7 x^{2} + 12 x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$

ステップ 1.2.6.2

$x$ について $7 x^{2} + 12 x + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.6.2.2

$a = 7$ 、 $b = 12$ 、および $c = 3$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 3)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.2.2

$- 28$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.3

$144$ から $84$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.3.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.3.2

$2$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

ステップ 1.2.6.2.3.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ を簡約します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.2.2

$- 28$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.3

$144$ から $84$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.4.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.4.2

$2$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

ステップ 1.2.6.2.4.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ を簡約します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{- 6 + \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4.5

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 6 + \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4.6

$- 1$ を $\sqrt{15}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - 1 (- \sqrt{15})}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4.7

$- 1$ を $- 1 (6) - 1 (- \sqrt{15})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (6 - \sqrt{15})}{7}$

ステップ 1.2.6.2.4.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.1

$12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 7 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2

$- 4 \cdot 7 \cdot 3$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.1

$- 4$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 28 \cdot 3}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.2.2

$- 28$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 84}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.3

$144$ から $84$ を引きます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.4

$60$ を $2^{2} \cdot 15$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.6.2.5.1.4.1

$4$ を $60$ で因数分解します。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.4.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 7}$

ステップ 1.2.6.2.5.2

$2$ に $7$ をかけます。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$

ステップ 1.2.6.2.5.3

$\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{15}}{14}$ を簡約します。

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{- 6 - \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5.5

$- 6$ を $- 1 (6)$ に書き換えます。

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5.6

$- 1$ を $- \sqrt{15}$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 \cdot 6 - (\sqrt{15})}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5.7

$- 1$ を $- 1 (6) - (\sqrt{15})$ で因数分解します。

$x = \frac{- 1 (6 + \sqrt{15})}{7}$

ステップ 1.2.6.2.5.8

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.6.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

ステップ 1.2.7

最終解は $6 {(x + 3)}^{3} (7 x^{2} + 12 x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7}) \cup (- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 3)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = 7 (- 6) {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$7$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 42 {((- 6) + 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.2

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 42 {(- 3)}^{4} + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.3

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 42 \cdot 81 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.4

$- 42$ に $81$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 3402 + (7 (- 6) + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.5

$7$ に $- 6$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 3402 + (- 42 + 6) ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.6

$- 42$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 ((- 6) (4 {((- 6) + 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.1

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 {(- 3)}^{3}) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 (4 \cdot - 27) + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7.3

$- 6 (4 \cdot - 27)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.7.3.1

$4$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (- 6 \cdot - 108 + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7.3.2

$- 6$ に $- 108$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {((- 6) + 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7.4

$- 6$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + {(- 3)}^{4})$

ステップ 4.2.1.7.5

$- 3$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 (648 + 81)$

ステップ 4.2.1.8

$648$ と $81$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - 3402 - 36 \cdot 729$

ステップ 4.2.1.9

$- 36$ に $729$ をかけます。

$f'' (- 6) = - 3402 - 26244$

ステップ 4.2.2

$- 3402$ から $26244$ を引きます。

$f'' (- 6) = - 29646$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 29646$ です。

$- 29646$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 3)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = 7 (- 2) {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$7$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 {((- 2) + 3)}^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.2

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1^{4} + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 2) = - 14 \cdot 1 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.4

$- 14$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 + (7 (- 2) + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.5

$7$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 + (- 14 + 6) ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.6

$- 14$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 ((- 2) (4 {((- 2) + 3)}^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.1

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1^{3}) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.7.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 (4 \cdot 1) + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.7.3

$- 2 (4 \cdot 1)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.7.3.1

$4$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 2 \cdot 4 + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.7.3.2

$- 2$ に $4$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + {((- 2) + 3)}^{4})$

ステップ 5.2.1.7.4

$- 2$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1^{4})$

ステップ 5.2.1.7.5

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 (- 8 + 1)$

ステップ 5.2.1.8

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - 14 - 8 \cdot - 7$

ステップ 5.2.1.9

$- 8$ に $- 7$ をかけます。

$f'' (- 2) = - 14 + 56$

ステップ 5.2.2

$- 14$ と $56$ をたし算します。

$f'' (- 2) = 42$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $42$ です。

$42$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 7 (- 1) {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 7 {((- 1) + 3)}^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 2^{4} + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.3

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1) = - 7 \cdot 16 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.4

$- 7$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 112 + (7 (- 1) + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.5

$7$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 112 + (- 7 + 6) ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.6

$- 7$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 ((- 1) (4 {((- 1) + 3)}^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.1

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 2^{3}) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.7.2

$2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 (4 \cdot 8) + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.7.3

$- 1 (4 \cdot 8)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.7.3.1

$4$ に $8$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 1 \cdot 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.7.3.2

$- 1$ に $32$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + {((- 1) + 3)}^{4})$

ステップ 6.2.1.7.4

$- 1$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 2^{4})$

ステップ 6.2.1.7.5

$2$ を $4$ 乗します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 (- 32 + 16)$

ステップ 6.2.1.8

$- 32$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 112 - 1 \cdot - 16$

ステップ 6.2.1.9

$- 1$ に $- 16$ をかけます。

$f'' (- 1) = - 112 + 16$

ステップ 6.2.2

$- 112$ と $16$ をたし算します。

$f'' (- 1) = - 96$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 96$ です。

$- 96$

ステップ 6.3

$f'' (- 1)$ が負なので、区間 $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 7 (0) {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$7$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 {((0) + 3)}^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.2

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 \cdot 3^{4} + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.3

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (0) = 0 \cdot 81 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.4

$0$ に $81$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + (7 (0) + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.5

$7$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + (0 + 6) ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.6

$0$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 6 ((0) (4 {((0) + 3)}^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.7

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.7.1

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 3^{3}) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.7.2

$3$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 (4 \cdot 27) + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.7.3

$0 (4 \cdot 27)$ を掛けます。

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ステップ 7.2.1.7.3.1

$4$ に $27$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 \cdot 108 + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.7.3.2

$0$ に $108$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + {((0) + 3)}^{4})$

ステップ 7.2.1.7.4

$0$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 3^{4})$

ステップ 7.2.1.7.5

$3$ を $4$ 乗します。

$f'' (0) = 0 + 6 (0 + 81)$

ステップ 7.2.1.8

$0$ と $81$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 + 6 \cdot 81$

ステップ 7.2.1.9

$6$ に $81$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 486$

ステップ 7.2.2

$0$ と $486$ をたし算します。

$f'' (0) = 486$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $486$ です。

$486$

ステップ 7.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 3)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 3, - \frac{6 + \sqrt{15}}{7})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{6 + \sqrt{15}}{7}, - \frac{6 - \sqrt{15}}{7})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{6 - \sqrt{15}}{7}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例