微分積分例

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

ステップ 1

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 6 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [6 + e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

総和則では、 $6 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.2

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x} e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.5

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.5.1

$e^{x}$ を移動させます。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - (e^{x} e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.5.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{x + x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.5.3

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 e^{x} + e^{x} e^{x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.2.1

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.2.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 e^{x} + e^{x + x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6.2.1.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6.2.2

$6 e^{x} + e^{2 x} - e^{2 x}$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.6.2.2.1

$e^{2 x}$ から $e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{6 e^{x} + 0}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6.2.2.2

$6 e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{6 e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [\frac{e^{x}}{{(6 + e^{x})}^{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = {(6 + e^{x})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.3

${({(6 + e^{x})}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$2$ に $2$ をかけます。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [{(6 + e^{x})}^{2}]}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 6 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $6 + e^{x}$ とします。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 u \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3

$u$ のすべての発生を $6 + e^{x}$ で置き換えます。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - e^{x} (2 (6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [6 + e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.2

総和則では、 $6 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3

$6$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $6$ の微分係数は $0$ です。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.7

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x} ((6 + e^{x}) e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.8

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{x + x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.9

$x$ と $x$ をたし算します。

$6 \frac{{(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.10

$6 + e^{x}$ を ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x} - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.10.1

$6 + e^{x}$ を ${(6 + e^{x})}^{2} e^{x}$ で因数分解します。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) - 2 e^{2 x} (6 + e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.10.2

$6 + e^{x}$ を $- 2 e^{2 x} (6 + e^{x})$ で因数分解します。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.10.3

$6 + e^{x}$ を $(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x}) + (6 + e^{x}) (- 2 e^{2 x})$ で因数分解します。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.11

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.11.1

$6 + e^{x}$ を ${(6 + e^{x})}^{4}$ で因数分解します。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.11.2

共通因数を約分します。

$6 \frac{(6 + e^{x}) ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{(6 + e^{x}) {(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.11.3

式を書き換えます。

$6 \frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.12

$6$ と $\frac{(6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{6 ((6 + e^{x}) e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.1

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (6 e^{x} + e^{x} e^{x} - 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.3.1.1

$6$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 e^{x} + 6 (e^{x} e^{x}) + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.3.1.2

指数を足して $e^{x}$ に $e^{x}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.3.1.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{x + x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.3.1.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} + 6 (- 2 e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.3.1.3

$- 2$ に $6$ をかけます。

$\frac{36 e^{x} + 6 e^{2 x} - 12 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.3.2

$6 e^{2 x}$ から $12 e^{2 x}$ を引きます。

$\frac{36 e^{x} - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.4.1

$6$ を $36 e^{x} - 6 e^{2 x}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.4.1.1

$6$ を $36 e^{x}$ で因数分解します。

$\frac{6 (6 e^{x}) - 6 e^{2 x}}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.1.2

$6$ を $- 6 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.1.3

$6$ を $6 (6 e^{x}) + 6 (- e^{2 x})$ で因数分解します。

$\frac{6 (6 e^{x} - e^{2 x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.2

$e^{2 x}$ を ${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{6 (6 e^{x} - {(e^{x})}^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.3

$u = e^{x}$ とします。 $u$ を $e^{x}$ に代入します。

$\frac{6 (6 u - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.4

$u$ を $6 u - u^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.13.4.4.1

$u$ を $6 u$ で因数分解します。

$\frac{6 (u \cdot 6 - u^{2})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.4.2

$u$ を $- u^{2}$ で因数分解します。

$\frac{6 (u \cdot 6 + u (- u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.4.3

$u$ を $u \cdot 6 + u (- u)$ で因数分解します。

$\frac{6 (u (6 - u))}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.2.13.4.5

$u$ のすべての発生を $e^{x}$ で置き換えます。

$f'' (x) = \frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$ です。

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{6 e^{x} (6 - e^{x})}{{(6 + e^{x})}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

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ステップ 2.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{x} = 0$

$6 - e^{x} = 0$

ステップ 2.2.3.2

$e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.3.2.1

$e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{x} = 0$

ステップ 2.2.3.2.2

$x$ について $e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.3.2.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.3.2.2.3

$e^{x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.3.3

$6 - e^{x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$6 - e^{x}$ が $0$ に等しいとします。

$6 - e^{x} = 0$

ステップ 2.2.3.3.2

$x$ について $6 - e^{x} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$- e^{x} = - 6$

ステップ 2.2.3.3.2.2

$- e^{x} = - 6$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.2.2.1

$- e^{x} = - 6$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- e^{x}}{- 1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 2.2.3.3.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{x}}{1} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 2.2.3.3.2.2.2.2

$e^{x}$ を $1$ で割ります。

$e^{x} = \frac{- 6}{- 1}$

ステップ 2.2.3.3.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.2.2.3.1

$- 6$ を $- 1$ で割ります。

$e^{x} = 6$

ステップ 2.2.3.3.2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

ステップ 2.2.3.3.2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.2.3.3.2.4.1

$x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (6)$

ステップ 2.2.3.3.2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (6)$

ステップ 2.2.3.3.2.4.3

$x$ に $1$ をかけます。

$x = \ln (6)$

ステップ 2.2.3.4

最終解は $6 e^{x} (6 - e^{x}) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (6)$

ステップ 3

$f (x) = \frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

$\frac{e^{x}}{6 + e^{x}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$6 + e^{x} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$e^{x} = - 6$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 6)$

ステップ 3.2.3

$\ln (- 6)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 3.2.4

$e^{x} = - 6$ の解はありません

解がありません

ステップ 3.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \ln (6)) \cup (\ln (6), \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \ln (6))$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - e^{0})}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1 \cdot 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} (6 - 1)}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2.1.3

$6$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = \frac{6 e^{0} \cdot 5}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2.1.4

$5$ に $6$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{30 e^{0}}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + e^{0})}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{{(6 + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$6$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{7^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$7$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = \frac{30 \cdot 1}{343}$

ステップ 5.2.3

$30$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{30}{343}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{30}{343}$ です。

$\frac{30}{343}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \ln (6))$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \ln (6))$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(\ln (6), \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

ステップ 6.2

最終的な答えは $\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$ です。

$\frac{6 e^{4} (6 - e^{4})}{{(6 + e^{4})}^{3}}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(\ln (6), \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\ln (6), \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \ln (6))$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\ln (6), \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例