微分積分例

$y = x \ln (x)$

ステップ 1

$y = x \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 2.1.3.1

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.2.2

式を書き換えます。

$1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$1 + \ln (x) \cdot 1$

ステップ 2.1.3.4

$\ln (x)$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 + \ln (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.2.1

微分します。

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ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $1 + \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$0 + \frac{1}{x}$

ステップ 2.2.3

$0$ と $\frac{1}{x}$ をたし算します。

$f'' (x) = \frac{1}{x}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{1}{x}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{1}{x} = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{1}{x} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 3.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 4

二次導関数が $0$ に等しくなるような値が見つかりません。

変曲点がありません

微分積分 例

微分積分例