微分積分例

$y = x + \cos (2 x)$

ステップ 1

$y = x + \cos (2 x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x + \cos (2 x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

総和則では、 $x + \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

ステップ 2.1.1.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f' (x) = 1 + \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2.1.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f' (x) = 1 - \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)$

ステップ 2.1.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))$

ステップ 2.1.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 1 - \sin (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.1.2.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = 1 - 2 \sin (2 x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $1 - 2 \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.1.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 2.2.2.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 2.2.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 2.2.2.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 2.2.2.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 2.2.2.7

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x)$

ステップ 2.2.3

$0$ から $4 \cos (2 x)$ を引きます。

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 4 \cos (2 x)$ です。

$- 4 \cos (2 x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 4 \cos (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 4 \cos (2 x) = 0$

ステップ 3.2

$- 4 \cos (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 4 \cos (2 x) = 0$ の各項を $- 4$ で割ります。

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 4 \cos (2 x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

ステップ 3.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{0}{- 4}$

ステップ 3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$0$ を $- 4$ で割ります。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 3.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 3.4

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 3.5

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.5.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 3.5.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 3.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7

$x$ について解きます。

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ステップ 3.7.1

簡約します。

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ステップ 3.7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.7.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.7.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 3.7.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 3.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 3.7.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 3.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 3.8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{π}{4}$ を $f (x) = x + \cos (2 x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{4}) = (\frac{π}{4}) + \cos (2 (\frac{π}{4}))$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.1.1

$2$ を $4$ で因数分解します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 (2)}))$

ステップ 4.1.2.1.1.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (2 (\frac{π}{2 \cdot 2}))$

ステップ 4.1.2.1.1.3

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + \cos (\frac{π}{2})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4} + 0$

ステップ 4.1.2.2

$\frac{π}{4}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{π}{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\frac{π}{4}$ です。

$\frac{π}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = x + \cos (2 x)$ で代入して $\frac{π}{4}$ 求めた点は、 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{π}{4}) \cup (\frac{π}{4}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{π}{4})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.68539816$ で置換えます。

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (2 (0.68539816))$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $0.68539816$ をかけます。

$f'' (0.68539816) = - 4 \cos (1.37079632)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $- 4 \cos (1.37079632)$ です。

$- 4 \cos (1.37079632)$

ステップ 6.3

$0.68539816$ で二次導関数は $- 0.79467732$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{π}{4})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{π}{4})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{π}{4}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.88539816$ で置換えます。

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (2 (0.88539816))$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $0.88539816$ をかけます。

$f'' (0.88539816) = - 4 \cos (1.77079632)$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $- 4 \cos (1.77079632)$ です。

$- 4 \cos (1.77079632)$

ステップ 7.3

$0.88539816$ で二次導関数は $0.79467732$ です。これは正の値なので、 $(\frac{π}{4}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{π}{4}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$ です。

$(\frac{π}{4}, \frac{π}{4})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例