微分積分例

$y = x^{5} + x^{3} - 2$

ステップ 1

$y = x^{5} + x^{3} - 2$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $x^{5} + x^{3} - 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.2

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 x^{4} + 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2]$

ステップ 2.1.4

$- 2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 2$ の微分係数は $0$ です。

$5 x^{4} + 3 x^{2} + 0$

ステップ 2.1.5

$5 x^{4} + 3 x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 5 x^{4} + 3 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $5 x^{4} + 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$20 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 3 (2 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$f'' (x) = 20 x^{3} + 6 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 x^{3} + 6 x$ です。

$20 x^{3} + 6 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 x^{3} + 6 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 x^{3} + 6 x = 0$

ステップ 3.2

$2 x$ を $20 x^{3} + 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$2 x$ を $20 x^{3}$ で因数分解します。

$2 x (10 x^{2}) + 6 x = 0$

ステップ 3.2.2

$2 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$2 x (10 x^{2}) + 2 x (3) = 0$

ステップ 3.2.3

$2 x$ を $2 x (10 x^{2}) + 2 x (3)$ で因数分解します。

$2 x (10 x^{2} + 3) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$10 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$10 x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$10 x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$10 x^{2} + 3 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $10 x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$10 x^{2} = - 3$

ステップ 3.5.2.2

$10 x^{2} = - 3$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.1

$10 x^{2} = - 3$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{- 3}{10}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 3}{10}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.5.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x^{2} = - \frac{3}{10}$

ステップ 3.5.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$

ステップ 3.5.2.4

$\pm \sqrt{- \frac{3}{10}}$ を簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.1

$- 1$ を $i^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{3}{10}}$

ステップ 3.5.2.4.2

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \sqrt{\frac{3}{10}}$

ステップ 3.5.2.4.3

$\sqrt{\frac{3}{10}}$ を $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$

ステップ 3.5.2.4.4

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}})$

ステップ 3.5.2.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.5.1

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{10}}$ に $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{\sqrt{10} \sqrt{10}}$

ステップ 3.5.2.4.5.2

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10}}$

ステップ 3.5.2.4.5.3

$\sqrt{10}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

ステップ 3.5.2.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{\sqrt{10}}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6

${\sqrt{10}}^{2}$ を $10$ に書き換えます。

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ステップ 3.5.2.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{10}$ を $10^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{{(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.2.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10^{1}}$

ステップ 3.5.2.4.5.6.5

指数を求めます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3} \sqrt{10}}{10}$

ステップ 3.5.2.4.6

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.2.4.6.1

根の積の法則を使ってまとめます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{3 \cdot 10}}{10}$

ステップ 3.5.2.4.6.2

$3$ に $10$ をかけます。

$x = \pm i \frac{\sqrt{30}}{10}$

ステップ 3.5.2.4.7

$i$ と $\frac{\sqrt{30}}{10}$ をまとめます。

$x = \pm \frac{i \sqrt{30}}{10}$

ステップ 3.5.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 3.5.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}$

ステップ 3.5.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

ステップ 3.5.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

ステップ 3.6

最終解は $2 x (10 x^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, \frac{i \sqrt{30}}{10}, - \frac{i \sqrt{30}}{10}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = {(0)}^{5} + {(0)}^{3} - 2$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + {(0)}^{3} - 2$

ステップ 4.1.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 0 - 2$

ステップ 4.1.2.2

足し算と引き算で簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0 - 2$

ステップ 4.1.2.2.2

$0$ から $2$ を引きます。

$f (0) = - 2$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $- 2$ です。

$- 2$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{5} + x^{3} - 2$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, - 2)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, - 2)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.1$ で置換えます。

$f'' (- 0.1) = 20 {(- 0.1)}^{3} + 6 (- 0.1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$- 0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.1) = 20 \cdot - 0.001 + 6 (- 0.1)$

ステップ 6.2.1.2

$20$ に $- 0.001$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.02 + 6 (- 0.1)$

ステップ 6.2.1.3

$6$ に $- 0.1$ をかけます。

$f'' (- 0.1) = - 0.02 - 0.6$

ステップ 6.2.2

$- 0.02$ から $0.6$ を引きます。

$f'' (- 0.1) = - 0.62$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.62$ です。

$- 0.62$

ステップ 6.3

$- 0.1$ で二次導関数は $- 0.62$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, 0)$ で減少

ステップ 7

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 6 (0.1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$0.1$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 6 (0.1)$

ステップ 7.2.1.2

$20$ に $0.001$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.02 + 6 (0.1)$

ステップ 7.2.1.3

$6$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

ステップ 7.2.2

$0.02$ と $0.6$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 0.62$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $0.62$ です。

$0.62$

ステップ 7.3

$0.1$ で二次導関数は $0.62$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(0, - 2)$ です。

$(0, - 2)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例