微分積分例

$y = x^{5} \ln (x)$

ステップ 1

$y = x^{5} \ln (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{5} \ln (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = x^{5}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$x^{5} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3

べき乗則を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$x^{5}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{x^{5}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2.2.4

式を書き換えます。

$\frac{x^{4}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.2.2.5

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$x^{4} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{5}]$

ステップ 2.1.3.3

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x^{4} + \ln (x) (5 x^{4})$

ステップ 2.1.3.4

項を並べ替えます。

$f' (x) = x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1.1

総和則では、 $x^{4} + 5 x^{4} \ln (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

ステップ 2.2.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4} \ln (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4} \ln (x)$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$ です。

$4 x^{3} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4} \ln (x)]$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = x^{4}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.2.2.3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.2.2.4

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 x^{3} + 5 (x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.5

$x^{4}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6

$x^{4}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.6.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6.2.3

共通因数を約分します。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6.2.4

式を書き換えます。

$4 x^{3} + 5 (\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.2.6.2.5

$x^{3}$ を $1$ で割ります。

$4 x^{3} + 5 (x^{3} + \ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 5 (\ln (x) (4 x^{3}))$

ステップ 2.2.3.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.2.1

$4$ に $5$ をかけます。

$4 x^{3} + 5 x^{3} + 20 (\ln (x) (x^{3}))$

ステップ 2.2.3.2.2

$4 x^{3}$ と $5 x^{3}$ をたし算します。

$9 x^{3} + 20 \ln (x) x^{3}$

ステップ 2.2.3.3

項を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$ です。

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x^{3} + 20 x^{3} \ln (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $9 x^{3}$ を引きます。

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$

ステップ 3.3

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ の各項を $20 x^{3}$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$20 x^{3} \ln (x) = - 9 x^{3}$ の各項を $20 x^{3}$ で割ります。

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$20$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{20 x^{3} \ln (x)}{20 x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.2.1.2

式を書き換えます。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.2.2

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.2.2.2

$\ln (x)$ を $1$ で割ります。

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$x^{3}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\ln (x) = \frac{- 9 x^{3}}{20 x^{3}}$

ステップ 3.3.3.1.2

式を書き換えます。

$\ln (x) = \frac{- 9}{20}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (x) = - \frac{9}{20}$

ステップ 3.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{9}{20}}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (x) = - \frac{9}{20}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{9}{20}} = x$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $x = e^{- \frac{9}{20}}$ として書き換えます。

$x = e^{- \frac{9}{20}}$

ステップ 3.6.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ を $f (x) = x^{5} \ln (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ で置換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})}^{5} \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

積の法則を $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1^{5}}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{9}{20}})}^{5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.3

${(e^{\frac{9}{20}})}^{5}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{20} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.3.2

$5$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

$5$ を $20$ で因数分解します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 (4)} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{5 \cdot 4} \cdot 5}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.3.2.3

式を書き換えます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$

ステップ 4.1.2.4

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{9}{20}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot \ln (e^{- \frac{9}{20}})$

ステップ 4.1.2.5

$- \frac{9}{20}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{9}{20}})$ を展開します。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot \ln (e))$

ステップ 4.1.2.6

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20} \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = \frac{1}{e^{\frac{9}{4}}} \cdot (- \frac{9}{20})$

ステップ 4.1.2.8

$\frac{1}{e^{\frac{9}{4}}}$ に $\frac{9}{20}$ をかけます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{e^{\frac{9}{4}} \cdot 20}$

ステップ 4.1.2.9

$20$ を $e^{\frac{9}{4}}$ の左に移動させます。

$f (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) = - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

ステップ 4.1.2.10

最終的な答えは $- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$ です。

$- \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}}$

ステップ 4.2

$f (x) = x^{5} \ln (x)$ で代入して $\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}$ 求めた点は、 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}) \cup (\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.53762815$ で置換えます。

$f'' (0.53762815) = 9 {(0.53762815)}^{3} + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.53762815$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.53762815) = 9 \cdot 0.1553982 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

ステップ 6.2.1.2

$9$ に $0.1553982$ をかけます。

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 {(0.53762815)}^{3} \ln (0.53762815)$

ステップ 6.2.1.3

$0.53762815$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 20 \cdot (0.1553982 \ln (0.53762815))$

ステップ 6.2.1.4

$20$ に $0.1553982$ をかけます。

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + 3.10796414 \ln (0.53762815)$

ステップ 6.2.1.5

対数の中の $3.10796414$ を移動させて $3.10796414 \ln (0.53762815)$ を簡約します。

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln ({0.53762815}^{3.10796414})$

ステップ 6.2.1.6

$0.53762815$ を $3.10796414$ 乗します。

$f'' (0.53762815) = 1.39858386 + \ln (0.14532747)$

ステップ 6.2.2

$1.39858386$ と $\ln (0.14532747)$ をたし算します。

$f'' (0.53762815) = - 0.53018177$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 0.53018177$ です。

$- 0.53018177$

ステップ 6.3

$0.53762815$ で二次導関数は $- 0.53018177$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{1}{e^{\frac{9}{20}}})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.73762815$ で置換えます。

$f'' (0.73762815) = 9 {(0.73762815)}^{3} + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.73762815$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.73762815) = 9 \cdot 0.40134 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

ステップ 7.2.1.2

$9$ に $0.40134$ をかけます。

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 {(0.73762815)}^{3} \ln (0.73762815)$

ステップ 7.2.1.3

$0.73762815$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 20 \cdot (0.40134 \ln (0.73762815))$

ステップ 7.2.1.4

$20$ に $0.40134$ をかけます。

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + 8.02680006 \ln (0.73762815)$

ステップ 7.2.1.5

対数の中の $8.02680006$ を移動させて $8.02680006 \ln (0.73762815)$ を簡約します。

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln ({0.73762815}^{8.02680006})$

ステップ 7.2.1.6

$0.73762815$ を $8.02680006$ 乗します。

$f'' (0.73762815) = 3.61206002 + \ln (0.08692764)$

ステップ 7.2.2

$3.61206002$ と $\ln (0.08692764)$ をたし算します。

$f'' (0.73762815) = 1.16938082$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $1.16938082$ です。

$1.16938082$

ステップ 7.3

$0.73762815$ で二次導関数は $1.16938082$ です。これは正の値なので、 $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$ です。

$(\frac{1}{e^{\frac{9}{20}}}, - \frac{9}{20 e^{\frac{9}{4}}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例