微分積分例

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 1

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \sin (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.2.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cos^{2} (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ です。

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

ステップ 2.1.3.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\cos (x)$ とします。

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

ステップ 2.1.3.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

ステップ 2.1.3.4

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

ステップ 2.1.3.5

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.1

項を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.4.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.4.2.1

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.4.2.2

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.1.4.2.3

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \sin (2 x) + 2 \cos (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.4

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.2.5

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

ステップ 2.2.3.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

ステップ 2.2.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$ です。

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \cos (2 x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

2倍角の公式を利用して $\cos (2 x)$ を $1 - 2 \sin^{2} (x)$ に変換します。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.2.2

分配則を当てはめます。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.2.4

$- 2$ に $2$ をかけます。

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.3

$2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$2$ を $2 - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$2 (1) - 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.3.1.2

$2$ を $- 4 \sin^{2} (x)$ で因数分解します。

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) - 2 \sin (x) = 0$

ステップ 3.3.1.3

$2$ を $- 2 \sin (x)$ で因数分解します。

$2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

ステップ 3.3.1.4

$2$ を $2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ で因数分解します。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x)) = 0$

ステップ 3.3.1.5

$2$ を $2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) + 2 (- \sin (x))$ で因数分解します。

$2 (1 - 2 \sin^{2} (x) - \sin (x)) = 0$

ステップ 3.3.2

因数分解。

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ステップ 3.3.2.1

群による因数分解。

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ステップ 3.3.2.1.1

項を並べ替えます。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ で和が $b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 3.3.2.1.2.1

$- 1$ を $- \sin (x)$ で因数分解します。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2.2

$- 1$ を $1$ プラス $- 2$ に書き換える

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.2.4

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.3

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.3.2.1.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

ステップ 3.3.2.1.4

最大公約数 $- 2 \sin (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

ステップ 3.3.2.2

不要な括弧を削除します。

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.5

$- 2 \sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$- 2 \sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.5.2

$x$ について $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- 2 \sin (x) = - 1$

ステップ 3.5.2.2

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.1

$- 2 \sin (x) = - 1$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.5.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.5.2.2.2.1.2

$\sin (x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

ステップ 3.5.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.2.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

ステップ 3.5.2.3

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

ステップ 3.5.2.4

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.4.1

$\arcsin (\frac{1}{2})$ の厳密値は $\frac{π}{6}$ です。

$x = \frac{π}{6}$

ステップ 3.5.2.5

正弦関数は、第一象限と第二象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第二象限で解を求めます。

$x = π - \frac{π}{6}$

ステップ 3.5.2.6

$π - \frac{π}{6}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.6.1

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.5.2.6.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.6.2.1

$π$ と $\frac{6}{6}$ をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

ステップ 3.5.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

ステップ 3.5.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.6.3.1

$6$ を $π$ の左に移動させます。

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

ステップ 3.5.2.6.3.2

$6 π$ から $π$ を引きます。

$x = \frac{5 π}{6}$

ステップ 3.5.2.7

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.2.7.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.5.2.7.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.5.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.5.2.7.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.5.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.6

$\sin (x) + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$\sin (x) + 1$ が $0$ に等しいとします。

$\sin (x) + 1 = 0$

ステップ 3.6.2

$x$ について $\sin (x) + 1 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$\sin (x) = - 1$

ステップ 3.6.2.2

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$x = \arcsin (- 1)$

ステップ 3.6.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{2}$ です。

$x = - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

ステップ 3.6.2.5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.5.1

$2 π + \frac{π}{2} + π$ から $2 π$ を引きます。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

ステップ 3.6.2.5.2

$\frac{3 π}{2}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{2} + π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.6.2.6

$\sin (x)$ の周期を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 3.6.2.6.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 3.6.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 3.6.2.6.4

$2 π$ を $1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 3.6.2.7

$2 π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.7.1

$2 π$ を $- \frac{π}{2}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

ステップ 3.6.2.7.2

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.7.3

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.7.3.1

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 3.6.2.7.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 3.6.2.7.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.6.2.7.4.1

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{4 π - π}{2}$

ステップ 3.6.2.7.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{2}$

ステップ 3.6.2.7.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 3.6.2.8

$\sin (x)$ 関数の周期が $2 π$ なので、両方向で $2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.7

最終解は $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3.8

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{π}{6}$ を $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{π}{6}$ で置換えます。

$f (\frac{π}{6}) = 2 \sin (\frac{π}{6}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.1

$\sin (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{1}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.1.2.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{1}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \cos^{2} (\frac{π}{6})$

ステップ 4.1.2.1.3

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

ステップ 4.1.2.1.4

積の法則を $\frac{\sqrt{3}}{2}$ に当てはめます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5.4.2

式を書き換えます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.5.5

指数を求めます。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{2^{2}}$

ステップ 4.1.2.1.6

$2$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{π}{6}) = 1 - \frac{3}{4}$

ステップ 4.1.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.2.1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4}{4} - \frac{3}{4}$

ステップ 4.1.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{4 - 3}{4}$

ステップ 4.1.2.2.3

$4$ から $3$ を引きます。

$f (\frac{π}{6}) = \frac{1}{4}$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{4}$ です。

$\frac{1}{4}$

ステップ 4.2

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ で代入して $\frac{π}{6}$ 求めた点は、 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{π}{6})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.42359877$ で置換えます。

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (2 (0.42359877)) - 2 \sin (0.42359877)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $0.42359877$ をかけます。

$f'' (0.42359877) = 2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$ です。

$2 \cos (0.84719755) - 2 \sin (0.42359877)$

ステップ 6.3

$0.42359877$ で二次導関数は $0.50208433$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, \frac{π}{6})$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, \frac{π}{6})$ で増加

ステップ 7

区間 $(\frac{π}{6}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.62359877$ で置換えます。

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (2 (0.62359877)) - 2 \sin (0.62359877)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

$2$ に $0.62359877$ をかけます。

$f'' (0.62359877) = 2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$ です。

$2 \cos (1.24719755) - 2 \sin (0.62359877)$

ステップ 7.3

$0.62359877$ で二次導関数は $- 0.53195951$ です。これは負の値なので、 $(\frac{π}{6}, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(\frac{π}{6}, \infty)$ で減少

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$ です。

$(\frac{π}{6}, \frac{1}{4})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例