微分積分例

$y = \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 1

$y = \sin (x) + \cos (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $\sin (x) + \cos (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (\cos (x))$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f' (x) = \cos (x) - \sin (x)$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $\cos (x) - \sin (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.2

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.2.3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) - \frac{d}{d x} \sin (x)$

ステップ 2.2.3.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$f'' (x) = - \sin (x) - \cos (x)$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \sin (x) - \cos (x)$ です。

$- \sin (x) - \cos (x)$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \sin (x) - \cos (x) = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \sin (x) - \cos (x) = 0$

ステップ 3.2

方程式の各項を $\cos (x)$ で割ります。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.3

分数を分解します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.4

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.5

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.6

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$- \tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.6.2

$- 1$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

ステップ 3.7

分数を分解します。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

ステップ 3.8

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$- \tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

ステップ 3.9

$0$ を $1$ で割ります。

$- \tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

ステップ 3.10

$0$ に $\sec (x)$ をかけます。

$- \tan (x) - 1 = 0$

ステップ 3.11

方程式の両辺に $1$ を足します。

$- \tan (x) = 1$

ステップ 3.12

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.12.1

$- \tan (x) = 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.12.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.12.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.12.2.2

$\tan (x)$ を $1$ で割ります。

$\tan (x) = \frac{1}{- 1}$

ステップ 3.12.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.12.3.1

$1$ を $- 1$ で割ります。

$\tan (x) = - 1$

ステップ 3.13

方程式の両辺の逆正切をとり、正切の中から $x$ を取り出します。

$x = \arctan (- 1)$

ステップ 3.14

右辺を簡約します。

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ステップ 3.14.1

$\arctan (- 1)$ の厳密値は $- \frac{π}{4}$ です。

$x = - \frac{π}{4}$

ステップ 3.15

正接関数は、第二象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = - \frac{π}{4} - π$

ステップ 3.16

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 3.16.1

$2 π$ に $- \frac{π}{4} - π$ をたし算します。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

ステップ 3.16.2

$\frac{3 π}{4}$ の結果の角度は正で $- \frac{π}{4} - π$ と隣接します。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.17

$\tan (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 3.17.1

関数の期間は $\frac{π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{π}{| b |}$

ステップ 3.17.2

周期の公式の $b$ を $1$ で置き換えます。

$\frac{π}{| 1 |}$

ステップ 3.17.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $1$ の間の距離は $1$ です。

$\frac{π}{1}$

ステップ 3.17.4

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 3.18

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 3.18.1

$π$ を $- \frac{π}{4}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{4} + π$

ステップ 3.18.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 3.18.3

分数をまとめます。

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ステップ 3.18.3.1

$π$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

ステップ 3.18.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

ステップ 3.18.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.18.4.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

ステップ 3.18.4.2

$4 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{3 π}{4}$

ステップ 3.18.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 3.19

$\tan (x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{3 π}{4}$ を $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.1.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.1.2.2.2

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

ステップ 4.1.2.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ で代入して $\frac{3 π}{4}$ 求めた点は、 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

ステップ 4.3

$\frac{3 π}{4}$ を $f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $\frac{3 π}{4}$ で置換えます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{3 π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.2

$\sin (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.3

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})$

ステップ 4.3.2.1.4

$\cos (\frac{π}{4})$ の厳密値は $\frac{\sqrt{2}}{2}$ です。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.3.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}$

ステップ 4.3.2.2.2

$\sqrt{2}$ から $\sqrt{2}$ を引きます。

$f (\frac{3 π}{4}) = \frac{0}{2}$

ステップ 4.3.2.2.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f (\frac{3 π}{4}) = 0$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.4

$f (x) = \sin (x) + \cos (x)$ で代入して $\frac{3 π}{4}$ 求めた点は、 $(\frac{3 π}{4}, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{3 π}{4}, 0)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{3 π}{4}) \cup (\frac{3 π}{4}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2.25619449$ で置換えます。

$f'' (2.25619449) = - \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

ステップ 6.2

最終的な答えは $- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$ です。

$- \sin (2.25619449) - \cos (2.25619449)$

ステップ 6.3

$2.25619449$ で二次導関数は $- 0.14118577$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{3 π}{4})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $2.45619449$ で置換えます。

$f'' (2.45619449) = - \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

ステップ 7.2

最終的な答えは $- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$ です。

$- \sin (2.45619449) - \cos (2.45619449)$

ステップ 7.3

$2.45619449$ で二次導関数は $0.14118577$ です。これは正の値なので、 $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{3 π}{4}, \infty)$ で増加

ステップ 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$ .

$(\frac{3 π}{4}, 0), (\frac{3 π}{4}, 0)$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例