微分積分例

$y = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 1

$y = \ln (x^{2} + 1)$ を関数で書きます。

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.1.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.1.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)$

ステップ 2.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 2.1.2.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x + 0)$

ステップ 2.1.2.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot (2 x)$

ステップ 2.1.2.4.2

$2$ と $\frac{1}{x^{2} + 1}$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2}{x^{2} + 1} \cdot x$

ステップ 2.1.2.4.3

$\frac{2}{x^{2} + 1}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 1})$

ステップ 2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.2

$x^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.3

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} (1))}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.3.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.4

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$f'' (x) = 2 (\frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.8

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$f'' (x) = 2 (\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}})$

ステップ 2.2.9

$2$ と $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.10

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = \frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.10.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.10.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2.10.2.2

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 3.2

分子を0に等しくします。

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

ステップ 3.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 2 x^{2} = - 2$

ステップ 3.3.2

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$- 2 x^{2} = - 2$ の各項を $- 2$ で割ります。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 3.3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1

$- 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 3.3.2.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

ステップ 3.3.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.3.1

$- 2$ を $- 2$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.3.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.3.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.3.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.3.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$1$ を $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $1$ で置換えます。

$f (1) = \ln ({(1)}^{2} + 1)$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

1のすべての数の累乗は1です。

$f (1) = \ln (1 + 1)$

ステップ 4.1.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (1) = \ln (2)$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $\ln (2)$ です。

$\ln (2)$

ステップ 4.2

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ で代入して $1$ 求めた点は、 $(1, \ln (2))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(1, \ln (2))$

ステップ 4.3

$- 1$ を $f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f (- 1) = \ln ({(- 1)}^{2} + 1)$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f (- 1) = \ln (1 + 1)$

ステップ 4.3.2.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$f (- 1) = \ln (2)$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $\ln (2)$ です。

$\ln (2)$

ステップ 4.4

$f (x) = \ln (x^{2} + 1)$ で代入して $- 1$ 求めた点は、 $(- 1, \ln (2))$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 1, \ln (2))$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(1, \ln (2)), (- 1, \ln (2))$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 1.1$ で置換えます。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 {(- 1.1)}^{2} + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$- 2.42$ と $2$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{({(- 1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$1.21$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$2.21$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

ステップ 6.2.3

$- 0.42$ を $4.8841$ で割ります。

$f'' (- 1.1) = - 0.08599332$

ステップ 6.2.4

最終的な答えは $- 0.08599332$ です。

$- 0.08599332$

ステップ 6.3

$- 1.1$ で二次導関数は $- 0.08599332$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, - 1)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, - 1)$ で減少

ステップ 7

区間 $(- 1, 1)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = \frac{- 2 {(0)}^{2} + 2}{{({(0)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{- 2 \cdot 0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$- 2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = \frac{0 + 2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$0$ と $2$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = \frac{2}{{(0 + 1)}^{2}}$

ステップ 7.2.2.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = \frac{2}{1^{2}}$

ステップ 7.2.2.3

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = \frac{2}{1}$

ステップ 7.2.3

$2$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = 2$

ステップ 7.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 7.3

$0$ で二次導関数は $2$ です。これは正の値なので、 $(- 1, 1)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- 1, 1)$ で増加

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $1.1$ で置換えます。

$f'' (1.1) = \frac{- 2 {(1.1)}^{2} + 2}{{({(1.1)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 2 \cdot 1.21 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.2

$- 2$ に $1.21$ をかけます。

$f'' (1.1) = \frac{- 2.42 + 2}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.1.3

$- 2.42$ と $2$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{({1.1}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$1.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{(1.21 + 1)}^{2}}$

ステップ 8.2.2.2

$1.21$ と $1$ をたし算します。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{{2.21}^{2}}$

ステップ 8.2.2.3

$2.21$ を $2$ 乗します。

$f'' (1.1) = \frac{- 0.42}{4.8841}$

ステップ 8.2.3

$- 0.42$ を $4.8841$ で割ります。

$f'' (1.1) = - 0.08599332$

ステップ 8.2.4

最終的な答えは $- 0.08599332$ です。

$- 0.08599332$

ステップ 8.3

$1.1$ で二次導関数は $- 0.08599332$ です。これは負の値なので、 $(1, \infty)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(1, \infty)$ で減少

ステップ 9

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$ .

$(- 1, \ln (2)), (1, \ln (2))$

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例