微分積分例

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

ステップ 1

$y = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (\frac{x}{4})]$ です。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2} \ln (\frac{x}{4}))$

ステップ 2.1.2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.4

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{4}$ で割ります。

$f' (x) = 5 (x^{2} (1 (\frac{4}{x}) \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.1

$\frac{4}{x}$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5 (x^{2} (\frac{4}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.2

$\frac{4}{x}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x^{2}}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3

$x^{2}$ と $x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.1

$x$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.5.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3.2.3

共通因数を約分します。

$f' (x) = 5 (\frac{x (4 x)}{x \cdot 1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3.2.4

式を書き換えます。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.5.3.2.5

$4 x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 5 (4 x \frac{d}{d x} (\frac{x}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.6

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 5 (4 x (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.7

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.1

$4$ と $\frac{1}{4}$ をまとめます。

$f' (x) = 5 (x (\frac{4}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.7.2

$\frac{4}{4}$ と $x$ をまとめます。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.7.3

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.7.3.1

共通因数を約分します。

$f' (x) = 5 (\frac{4 x}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.7.3.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f' (x) = 5 (x \frac{d}{d x} (x) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (x \cdot 1 + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.9

$x$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

ステップ 2.1.10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 5 (x + \ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

ステップ 2.1.11

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.11.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = 5 x + 5 (\ln (\frac{x}{4}) (2 x))$

ステップ 2.1.11.2

$2$ に $5$ をかけます。

$f' (x) = 5 x + 10 \ln (\frac{x}{4}) x$

ステップ 2.1.11.3

項を並べ替えます。

$f' (x) = 10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $10 x \ln (\frac{x}{4}) + 5 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})] + \frac{d}{d x} [5 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [10 x \ln (\frac{x}{4})]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x \ln (\frac{x}{4})$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x \ln (\frac{x}{4})]$ です。

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (\frac{x}{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (x \frac{d}{d x} (\ln (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \frac{x}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{x}{4}$ とします。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{d}{d u} (\ln (u)) \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{u} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.3.3

$u$ のすべての発生を $\frac{x}{4}$ で置き換えます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x}{4})) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.4

$\frac{1}{4}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{4}$ の微分係数は $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x))) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{\frac{x}{4}} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.7

分数の逆数を掛け、 $\frac{x}{4}$ で割ります。

$f'' (x) = 10 (x (1 (\frac{4}{x}) \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.8

$\frac{4}{x}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.9

$\frac{1}{4}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x} \cdot \frac{1}{4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.10

$\frac{4}{x}$ に $\frac{1}{4}$ をかけます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{x \cdot 4}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.11

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 \cdot x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.12

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.12.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{4}{4 x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.12.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 10 (x (\frac{1}{x}) + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.13

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.14

$x$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.14.1

共通因数を約分します。

$f'' (x) = 10 (\frac{x}{x} + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.14.2

式を書き換えます。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4}) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.2.15

$\ln (\frac{x}{4})$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + \frac{d}{d x} (5 x)$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [5 x]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x)$

ステップ 2.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5 \cdot 1$

ステップ 2.2.3.3

$5$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 (1 + \ln (\frac{x}{4})) + 5$

ステップ 2.2.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.1

分配則を当てはめます。

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

ステップ 2.2.4.2

項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.4.2.1

$10$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 10 + 10 \ln (\frac{x}{4}) + 5$

ステップ 2.2.4.2.2

$10$ と $5$ をたし算します。

$f'' (x) = 10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$ です。

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$10 \ln (\frac{x}{4}) + 15 = 0$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $15$ を引きます。

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$

ステップ 3.3

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ の各項を $10$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

$10 \ln (\frac{x}{4}) = - 15$ の各項を $10$ で割ります。

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

ステップ 3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1

$10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{10 \ln (\frac{x}{4})}{10} = \frac{- 15}{10}$

ステップ 3.3.2.1.2

$\ln (\frac{x}{4})$ を $1$ で割ります。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 15}{10}$

ステップ 3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1

$- 15$ と $10$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.1

$5$ を $- 15$ で因数分解します。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 (- 3)}{10}$

ステップ 3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.3.1.2.1

$5$ を $10$ で因数分解します。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{5 \cdot - 3}{5 \cdot 2}$

ステップ 3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\ln (\frac{x}{4}) = \frac{- 3}{2}$

ステップ 3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$

ステップ 3.4

$x$ について解くために、対数の性質を利用して方程式を書き換えます。

$e^{\ln (\frac{x}{4})} = e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.5

対数の定義を利用して $\ln (\frac{x}{4}) = - \frac{3}{2}$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$e^{- \frac{3}{2}} = \frac{x}{4}$

ステップ 3.6

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

方程式を $\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$ として書き換えます。

$\frac{x}{4} = e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺に $4$ を掛けます。

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.6.3

方程式の両辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.1.1.1

共通因数を約分します。

$4 \frac{x}{4} = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.6.3.1.1.2

式を書き換えます。

$x = 4 e^{- \frac{3}{2}}$

ステップ 3.6.3.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1

$4 e^{- \frac{3}{2}}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.3.2.1.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$x = 4 \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 3.6.3.2.1.2

$4$ と $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ をまとめます。

$x = \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ を $f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ で置換えます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 {(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})}^{2} \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.1

積の法則を $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ に当てはめます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{4^{2}}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{{(e^{\frac{3}{2}})}^{2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.3

${(e^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.3.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{\frac{3}{2} \cdot 2}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.3.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = 5 (\frac{16}{e^{3}}) \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.4

$5 \frac{16}{e^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.4.1

$5$ と $\frac{16}{e^{3}}$ をまとめます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{5 \cdot 16}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.4.2

$5$ に $16$ をかけます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}}{4})$

ステップ 4.1.2.5

分子に分母の逆数を掛けます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{4})$

ステップ 4.1.2.6

まとめる。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

ステップ 4.1.2.7

今日数因数で約分することで式 $\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4}$ を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.7.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{4 \cdot 1}{e^{\frac{3}{2}} \cdot 4})$

ステップ 4.1.2.7.2

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}})$

ステップ 4.1.2.8

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $e^{\frac{3}{2}}$ を分子に移動させます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \ln (e^{- \frac{3}{2}})$

ステップ 4.1.2.9

$- \frac{3}{2}$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{- \frac{3}{2}})$ を展開します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot \ln (e))$

ステップ 4.1.2.10

$e$ の自然対数は $1$ です。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2} \cdot 1)$

ステップ 4.1.2.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot (- \frac{3}{2})$

ステップ 4.1.2.12

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.12.1

$- \frac{3}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{80}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.1.2.12.2

$2$ を $80$ で因数分解します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 (40)}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.1.2.12.3

共通因数を約分します。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{2 \cdot 40}{e^{3}} \cdot \frac{- 3}{2}$

ステップ 4.1.2.12.4

式を書き換えます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40}{e^{3}} \cdot - 3$

ステップ 4.1.2.13

$\frac{40}{e^{3}}$ と $- 3$ をまとめます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{40 \cdot - 3}{e^{3}}$

ステップ 4.1.2.14

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.2.14.1

$40$ に $- 3$ をかけます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = \frac{- 120}{e^{3}}$

ステップ 4.1.2.14.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) = - \frac{120}{e^{3}}$

ステップ 4.1.2.15

最終的な答えは $- \frac{120}{e^{3}}$ です。

$- \frac{120}{e^{3}}$

ステップ 4.2

$f (x) = 5 x^{2} \ln (\frac{x}{4})$ で代入して $\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$ 求めた点は、 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}) \cup (\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0.79252064$ で置換えます。

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (\frac{0.79252064}{4}) + 15$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$0.79252064$ を $4$ で割ります。

$f'' (0.79252064) = 10 \ln (0.19813016) + 15$

ステップ 6.2.1.2

対数の中の $10$ を移動させて $10 \ln (0.19813016)$ を簡約します。

$f'' (0.79252064) = \ln ({0.19813016}^{10}) + 15$

ステップ 6.2.1.3

$0.19813016$ を $10$ 乗します。

$f'' (0.79252064) = \ln (0.00000009) + 15$

ステップ 6.2.2

最終的な答えは $\ln (0.00000009) + 15$ です。

$\ln (0.00000009) + 15$

ステップ 6.3

$0.79252064$ で二次導関数は $- 1.18831089$ です。これは負の値なので、 $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- \infty, \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}})$ で減少

ステップ 7

区間 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.99252064$ で置換えます。

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (\frac{0.99252064}{4}) + 15$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$0.99252064$ を $4$ で割ります。

$f'' (0.99252064) = 10 \ln (0.24813016) + 15$

ステップ 7.2.1.2

対数の中の $10$ を移動させて $10 \ln (0.24813016)$ を簡約します。

$f'' (0.99252064) = \ln ({0.24813016}^{10}) + 15$

ステップ 7.2.1.3

$0.24813016$ を $10$ 乗します。

$f'' (0.99252064) = \ln (0.00000088) + 15$

ステップ 7.2.2

最終的な答えは $\ln (0.00000088) + 15$ です。

$\ln (0.00000088) + 15$

ステップ 7.3

$0.99252064$ で二次導関数は $1.06198168$ です。これは正の値なので、 $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, \infty)$ で増加

ステップ 8

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。このときの変曲点は $(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$ です。

$(\frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}, - \frac{120}{e^{3}})$

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例