微分積分例

$\frac{x}{1 - x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{x}{1 - x^{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(1 - x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.2

$1 - x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.3

総和則では、 $1 - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{1 - x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1 - x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ をたし算します。

$\frac{1 - x^{2} - x \frac{d}{d x} [- x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1 - x^{2} - x (- \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.7

掛け算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1 - x^{2} + 1 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{1 - x^{2} + x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.8

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1 - x^{2} + x (2 x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x)}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{1 - x^{2} + 2 (x^{1} x^{1})}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{1 + 1}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1 - x^{2} + 2 x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.7

$- x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{1 + x^{2}}{{(1 - x^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{x^{2} + 1}{{(- x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = x^{2} + 1$ および $g (x) = {(- x^{2} + 1)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

${({(- x^{2} + 1)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.1.2.2.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2.2

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{{(- x^{2} + 1)}^{2} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.2.5.2

$2$ を ${(- x^{2} + 1)}^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 1)}^{2}]}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = - x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- x^{2} + 1$ とします。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 u \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- x^{2} + 1$ で置き換えます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - (x^{2} + 1) (2 (- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [- x^{2} + 1])}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.2

総和則では、 $- x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- (2 x) + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + \frac{d}{d x} [1]))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.6

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.7.1

$- 2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x - 2 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.4.7.2

$- 2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + 4 (x^{2} + 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) ((- x^{2} + 1) (x))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(- x^{2} + 1)}^{2} x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.1

${(- x^{2} + 1)}^{2}$ を $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ に書き換えます。

$\frac{2 ((- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + 1) (- x^{2} + 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2} + 1) + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2} + 1)) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 (- x^{2} (- x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{2 + 2} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 (- 1 \cdot - 1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.3

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (1 x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.4

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} \cdot 1 + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} + 1 (- x^{2}) + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.6

$- x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.1.7

$1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.3.2

$- x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{2 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.4

分配則を当てはめます。

$\frac{(2 x^{4} + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.5.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{(2 x^{4} - 4 x^{2} + 2) x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.6

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{4} x - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{4}) - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 4} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{2} x + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{5} - 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{5} - 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{1 + 2} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4 \cdot 1) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.8

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{2} x + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.9

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x \cdot x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- (x^{1} x^{2}) + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{1 + 2} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + 1 x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.9.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + (4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(4 x^{2} + 4) (- x^{3} + x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.10.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3} + x) + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3} + x)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.10.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x^{2} (- x^{3}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.2.1

$x^{3}$ を移動させます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{3 + 2} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.2.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 \cdot - 1 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{2} x + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x \cdot x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 (x^{1} x^{2}) + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{1 + 2} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.4.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} + 4 (- x^{3}) + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.1.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x^{3} - 4 x^{3} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.2

$4 x^{3}$ から $4 x^{3}$ を引きます。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 0 + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.1.11.3

$- 4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x - 4 x^{5} + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.2

$2 x^{5}$ から $4 x^{5}$ を引きます。

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 2 x + 4 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.3.3

$2 x$ と $4 x$ をたし算します。

$\frac{- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.4.1

$2 x$ を $- 2 x^{5} - 4 x^{3} + 6 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.4.1.1

$2 x$ を $- 2 x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x^{4}) - 4 x^{3} + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.1.2

$2 x$ を $- 4 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 6 x}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.1.3

$2 x$ を $6 x$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.1.4

$2 x$ を $2 x (- x^{4}) + 2 x (- 2 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.1.5

$2 x$ を $2 x (- x^{4} - 2 x^{2}) + 2 x (3)$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- x^{4} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} - 2 x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 3 = - 3$ で和が $b = - 2$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.4.4.1.1

$- 2$ を $- 2 u$ で因数分解します。

$\frac{2 x (- u^{2} - 2 (u) + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.1.2

$- 2$ を $1$ プラス $- 3$ に書き換える

$\frac{2 x (- u^{2} + (1 - 3) u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x (- u^{2} + 1 u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.1.4

$u$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x (- u^{2} + u - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$\frac{2 x ((- u^{2} + u) - 3 u + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\frac{2 x (u (- u + 1) + 3 (- u + 1))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.4.3

最大公約数 $- u + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$\frac{2 x ((- u + 1) (u + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.6

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x ((- x^{2} + 1^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.7

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{2 x ((1^{2} - x^{2}) (x^{2} + 3))}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.4.8

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(- x^{2} + 1^{2})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.5.2

$- x^{2}$ と $1^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1^{2} - x^{2})}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = x$ です。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{((1 + x) (1 - x))}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.5.4

積の法則を $(1 + x) (1 - x)$ に当てはめます。

$\frac{2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.6

$1 + x$ と ${(1 + x)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.6.1

$1 + x$ を $2 x (1 + x) (1 - x) (x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.6.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.6.2.1

$1 + x$ を ${(1 + x)}^{4} {(1 - x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

ステップ 2.1.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + x) ((2 x (1 - x)) (x^{2} + 3))}{(1 + x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4})}$

ステップ 2.1.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.7

$1 - x$ と ${(1 - x)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.7.1

$1 - x$ を $(2 x (1 - x)) (x^{2} + 3)$ で因数分解します。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.5.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.7.2.1

$1 - x$ を ${(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.5.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 - x) ((2 x) (x^{2} + 3))}{(1 - x) ({(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3})}$

ステップ 2.1.2.5.7.2.3

式を書き換えます。

$f'' (x) = \frac{(2 x) (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(1 + x)}^{3} {(1 - x)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x^{2} + 3) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3.3

$x^{2} + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$x^{2} + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x^{2} + 3 = 0$

ステップ 2.2.3.3.2

$x$ について $x^{2} + 3 = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.1

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x^{2} = - 3$

ステップ 2.2.3.3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 3}$

ステップ 2.2.3.3.2.3

$\pm \sqrt{- 3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.3.1

$- 3$ を $- 1 (3)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

ステップ 2.2.3.3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (3)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 2.2.3.4

最終解は $2 x (x^{2} + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

ステップ 3

$f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{x}{1 - x^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$1 - x^{2} = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$- x^{2} = - 1$

ステップ 3.2.2

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

$- x^{2} = - 1$ の各項を $- 1$ で割ります。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2.2.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

ステップ 3.2.2.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.3.1

$- 1$ を $- 1$ で割ります。

$x^{2} = 1$

ステップ 3.2.3

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{1}$

ステップ 3.2.4

$1$ のいずれの根は $1$ です。

$x = \pm 1$

ステップ 3.2.5

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.5.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 1$

ステップ 3.2.5.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 1$

ステップ 3.2.5.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 1, - 1$

ステップ 3.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 1}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

括弧を削除します。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(1 - 4)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 - (- 4))}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} {(1 + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{{(- 3)}^{3} \cdot 5^{3}}$

ステップ 5.2.2.4

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 5^{3}}$

ステップ 5.2.2.5

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 ({(- 4)}^{2} + 3)}{- 27 \cdot 125}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (16 + 3)}{- 27 \cdot 125}$

ステップ 5.2.3.2

$16$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 27 \cdot 125}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$- 27$ に $125$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot 19}{- 3375}$

ステップ 5.2.4.2

$- 8$ に $19$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 152}{- 3375}$

ステップ 5.2.4.3

2つの負の値を割ると正の値になります。

$f'' (- 4) = \frac{152}{3375}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $\frac{152}{3375}$ です。

$\frac{152}{3375}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 1, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 0.5$ で置換えます。

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

括弧を削除します。

$f'' (- 0.5) = \frac{2 (- 0.5) ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$2$ に $- 0.5$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{(1 - 0.5)}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$1$ から $0.5$ を引きます。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 - (- 0.5))}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $- 0.5$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} {(1 + 0.5)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$1$ と $0.5$ をたし算します。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{{0.5}^{3} \cdot {1.5}^{3}}$

ステップ 6.2.2.4

$0.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot {1.5}^{3}}$

ステップ 6.2.2.5

$1.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 ({(- 0.5)}^{2} + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 0.5$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 (0.25 + 3)}{0.125 \cdot 3.375}$

ステップ 6.2.3.2

$0.25$ と $3$ をたし算します。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.125 \cdot 3.375}$

ステップ 6.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.4.1

$0.125$ に $3.375$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 1 \cdot 3.25}{0.421875}$

ステップ 6.2.4.2

$- 1$ に $3.25$ をかけます。

$f'' (- 0.5) = \frac{- 3.25}{0.421875}$

ステップ 6.2.4.3

$- 3.25$ を $0.421875$ で割ります。

$f'' (- 0.5) = - 7.\overline{703}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $- 7.\overline{703}$ です。

$- 7.\overline{703}$

ステップ 6.3

$f'' (- 0.5)$ が負なので、区間 $(- 1, 0)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 0)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $0.5$ で置換えます。

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

括弧を削除します。

$f'' (0.5) = \frac{2 (0.5) ({(0.5)}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$2$ に $0.5$ をかけます。

$f'' (0.5) = \frac{1 ({0.5}^{2} + 3)}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

${0.5}^{2} + 3$ に $1$ をかけます。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{(1 + 0.5)}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

ステップ 7.2.3

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$1$ と $0.5$ をたし算します。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - (0.5))}^{3}}$

ステップ 7.2.3.2

$- 1$ に $0.5$ をかけます。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} {(1 - 0.5)}^{3}}$

ステップ 7.2.3.3

$1$ から $0.5$ を引きます。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{{1.5}^{3} \cdot {0.5}^{3}}$

ステップ 7.2.3.4

$1.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot {0.5}^{3}}$

ステップ 7.2.3.5

$0.5$ を $3$ 乗します。

$f'' (0.5) = \frac{{0.5}^{2} + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

ステップ 7.2.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$0.5$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.5) = \frac{0.25 + 3}{3.375 \cdot 0.125}$

ステップ 7.2.4.2

$0.25$ と $3$ をたし算します。

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{3.375 \cdot 0.125}$

ステップ 7.2.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.5.1

$3.375$ に $0.125$ をかけます。

$f'' (0.5) = \frac{3.25}{0.421875}$

ステップ 7.2.5.2

$3.25$ を $0.421875$ で割ります。

$f'' (0.5) = 7.\overline{703}$

ステップ 7.2.6

最終的な答えは $7.\overline{703}$ です。

$7.\overline{703}$

ステップ 7.3

$f'' (0.5)$ が正なので、区間 $(0, 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 1)$ で上に凹します。

ステップ 8

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

括弧を削除します。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ({(4)}^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

ステップ 8.2.1.2

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{{(1 + 4)}^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$1$ と $4$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - (4))}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(1 - 4)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$1$ から $4$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{5^{3} {(- 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.4

$5$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 {(- 3)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.5

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8 (4^{2} + 3)}{125 \cdot - 27}$

ステップ 8.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8 (16 + 3)}{125 \cdot - 27}$

ステップ 8.2.3.2

$16$ と $3$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{125 \cdot - 27}$

ステップ 8.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$125$ に $- 27$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot 19}{- 3375}$

ステップ 8.2.4.2

$8$ に $19$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{152}{- 3375}$

ステップ 8.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = - \frac{152}{3375}$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $- \frac{152}{3375}$ です。

$- \frac{152}{3375}$

ステップ 8.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 0)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(0, 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例