微分積分例

$\frac{x}{x^{2} + 27}$

ステップ 1

$\frac{x}{x^{2} + 27}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = x^{2} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 27) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.2

$x^{2} + 27$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 27 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.3

総和則では、 $x^{2} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$\frac{x^{2} + 27 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + \frac{d}{d x} [27])}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.5

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.6.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 27 - x (2 x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.2.6.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{x^{2} + 27 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{x^{2} + 27 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.7

$x^{2}$ から $2 x^{2}$ を引きます。

$\frac{- x^{2} + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.8.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2}) + 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8.2

$27$ を $- 1 (- 27)$ に書き換えます。

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (- 27)$ で因数分解します。

$\frac{- (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8.4

$- (x^{2} - 27)$ を $- 1 (x^{2} - 27)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (x^{2} - 27)}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.1.8.5

分数の前に負数を移動させます。

$f' (x) = - \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$f (x) = - 1$ および $g (x) = \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}] + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x^{2} - 27$ および $g (x) = {(x^{2} + 27)}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

${({(x^{2} + 27)}^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{2 \cdot 2}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 27] - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.2

総和則では、 $x^{2} - 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]$ です。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 27]) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.4

$- 27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 27$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x + 0) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{{(x^{2} + 27)}^{2} (2 x) - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.3.5.2

$2$ を ${(x^{2} + 27)}^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 \cdot {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{2}]}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = x^{2} + 27$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 27$ とします。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.4.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 27$ で置き換えます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - (x^{2} - 27) (2 (x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) \frac{d}{d x} [x^{2} + 27])}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.2

総和則では、 $x^{2} + 27$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ です。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + \frac{d}{d x} [27]))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.4

$27$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $27$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.5

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.5.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) (2 x))}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.5.2

$2$ を $x^{2} + 27$ の左に移動させます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 2 (x^{2} - 27) (2 \cdot (x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.5.3

$2$ に $- 2$ をかけます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

ステップ 2.1.2.5.6

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + \frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}} \cdot 0$

ステップ 2.1.2.5.7

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.5.7.1

$\frac{x^{2} - 27}{{(x^{2} + 27)}^{2}}$ に $0$ をかけます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}} + 0$

ステップ 2.1.2.5.7.2

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x - 4 (x^{2} - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) ((x^{2} + 27) x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 {(x^{2} + 27)}^{2} x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.1

${(x^{2} + 27)}^{2}$ を $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ に書き換えます。

$- \frac{2 ((x^{2} + 27) (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x^{2} + 27) (x^{2} + 27)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{2} (x^{2} + 27) + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 (x^{2} + 27)) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1.1.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1.1.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 (x^{4} + x^{2} \cdot 27 + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1.2

$27$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$- \frac{2 (x^{4} + 27 \cdot x^{2} + 27 x^{2} + 27 \cdot 27) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.1.3

$27$ に $27$ をかけます。

$- \frac{2 (x^{4} + 27 x^{2} + 27 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.3.2

$27 x^{2}$ と $27 x^{2}$ をたし算します。

$- \frac{2 (x^{4} + 54 x^{2} + 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.4

分配則を当てはめます。

$- \frac{(2 x^{4} + 2 (54 x^{2}) + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.5.1

$54$ に $2$ をかけます。

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 2 \cdot 729) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.5.2

$2$ に $729$ をかけます。

$- \frac{(2 x^{4} + 108 x^{2} + 1458) x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.6

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x^{4} x + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1

指数を足して $x^{4}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 (x \cdot x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1.2

$x$ に $x^{4}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 (x^{1} x^{4}) + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{1 + 4} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.1.3

$1$ と $4$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{2} x + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x \cdot x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 (x^{1} x^{2}) + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{1 + 2} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.7.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} - 4 \cdot - 27) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.8

$- 4$ に $- 27$ をかけます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.9

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.9.1

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.9.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2} x^{1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.9.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{2 + 1} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.9.2

$2$ と $1$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + (- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.10

分配法則（FOIL法）を使って $(- 4 x^{2} + 108) (x^{3} + 27 x)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.10.1

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} (x^{3} + 27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.10.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 (x^{3} + 27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.10.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{2} x^{3} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.1

指数を足して $x^{2}$ に $x^{3}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.1.1

$x^{3}$ を移動させます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 (x^{3} x^{2}) - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{3 + 2} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.1.3

$3$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 x^{2} (27 x) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{2} x + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3.1

$x$ を移動させます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x \cdot x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 (x^{1} x^{2}) + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{1 + 2} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.3.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 4 \cdot 27 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.4

$- 4$ に $27$ をかけます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 108 (27 x)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.1.5

$27$ に $108$ をかけます。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} - 108 x^{3} + 108 x^{3} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.2

$- 108 x^{3}$ と $108 x^{3}$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 0 + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.1.11.3

$- 4 x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x - 4 x^{5} + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.2

$2 x^{5}$ から $4 x^{5}$ を引きます。

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 1458 x + 2916 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.3.3

$1458 x$ と $2916 x$ をたし算します。

$- \frac{- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.1

$2 x$ を $- 2 x^{5} + 108 x^{3} + 4374 x$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.1.1

$2 x$ を $- 2 x^{5}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 108 x^{3} + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.1.2

$2 x$ を $108 x^{3}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 4374 x}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.1.3

$2 x$ を $4374 x$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.1.4

$2 x$ を $2 x (- x^{4}) + 2 x (54 x^{2})$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.1.5

$2 x$ を $2 x (- x^{4} + 54 x^{2}) + 2 x (2187)$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- x^{4} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.2

$x^{4}$ を ${(x^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x (- {(x^{2})}^{2} + 54 x^{2} + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.3

$u = x^{2}$ とします。 $u$ を $x^{2}$ に代入します。

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4

群による因数分解。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.4.1

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が $a \cdot c = - 1 \cdot 2187 = - 2187$ で和が $b = 54$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.4.1.1

$54$ を $54 u$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- u^{2} + 54 (u) + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4.1.2

$54$ を $- 27$ プラス $81$ に書き換える

$- \frac{2 x (- u^{2} + (- 27 + 81) u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4.1.3

分配則を当てはめます。

$- \frac{2 x (- u^{2} - 27 u + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4.2

各群から最大公約数を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.4.4.2.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$- \frac{2 x ((- u^{2} - 27 u) + 81 u + 2187)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4.2.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$- \frac{2 x (u (- u - 27) - 81 (- u - 27))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.4.3

最大公約数 $- u - 27$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$- \frac{2 x ((- u - 27) (u - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.5

$u$ のすべての発生を $x^{2}$ で置き換えます。

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 81))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.6

$81$ を $9^{2}$ に書き換えます。

$- \frac{2 x ((- x^{2} - 27) (x^{2} - 9^{2}))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.4.7

因数分解。

$- \frac{2 x (- x^{2} - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5

$- x^{2} - 27$ と ${(x^{2} + 27)}^{4}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.5.1

$- 1$ を $- x^{2}$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 27) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5.2

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$- \frac{2 x (- (x^{2}) - 1 (27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5.3

$- 1$ を $- (x^{2}) - 1 (27)$ で因数分解します。

$- \frac{2 x (- (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5.4

$- (x^{2} + 27)$ を $- 1 (x^{2} + 27)$ に書き換えます。

$- \frac{2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5.5

$x^{2} + 27$ を $2 x (- 1 (x^{2} + 27)) (x + 9) (x - 9)$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{{(x^{2} + 27)}^{4}}$

ステップ 2.1.2.6.5.6

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.5.6.1

$x^{2} + 27$ を ${(x^{2} + 27)}^{4}$ で因数分解します。

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.5.6.2

共通因数を約分します。

$- \frac{(x^{2} + 27) ((2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9))}{(x^{2} + 27) {(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.5.6.3

式を書き換えます。

$- \frac{(2 x \cdot (- 1) (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.6

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- \frac{- 2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.7

分数の前に負数を移動させます。

$- - \frac{(2 x (x + 9)) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.8

$- - \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.6.8.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.2.6.8.2

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = \frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$ です。

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$\frac{2 x (x + 9) (x - 9)}{{(x^{2} + 27)}^{3}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x (x + 9) (x - 9) = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ について方程式を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 9 = 0$

$x - 9 = 0$

ステップ 2.2.3.2

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.2.3.3

$x + 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.3.1

$x + 9$ が $0$ に等しいとします。

$x + 9 = 0$

ステップ 2.2.3.3.2

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$x = - 9$

ステップ 2.2.3.4

$x - 9$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.4.1

$x - 9$ が $0$ に等しいとします。

$x - 9 = 0$

ステップ 2.2.3.4.2

方程式の両辺に $9$ を足します。

$x = 9$

ステップ 2.2.3.5

最終解は $2 x (x + 9) (x - 9) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 9, 9$

ステップ 3

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 27}$ の定義域を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\frac{x}{x^{2} + 27}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 27 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

方程式の両辺から $27$ を引きます。

$x^{2} = - 27$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$x = \pm \sqrt{- 27}$

ステップ 3.2.3

$\pm \sqrt{- 27}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.1

$- 27$ を $- 1 (27)$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1 (27)}$

ステップ 3.2.3.2

$\sqrt{- 1 (27)}$ を $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ に書き換えます。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$

ステップ 3.2.3.3

$\sqrt{- 1}$ を $i$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{27}$

ステップ 3.2.3.4

$27$ を $3^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.3.4.1

$9$ を $27$ で因数分解します。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}$

ステップ 3.2.3.4.2

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}$

ステップ 3.2.3.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm i \cdot (3 \sqrt{3})$

ステップ 3.2.3.6

$3$ を $i$ の左に移動させます。

$x = \pm 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.2.4

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.4.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.2.4.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.2.4.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = 3 i \sqrt{3}, - 3 i \sqrt{3}$

ステップ 3.3

定義域はすべての実数です。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 9)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 12$ で置換えます。

$f'' (- 12) = \frac{2 (- 12) ((- 12) + 9) ((- 12) - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

$2$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{({(- 12)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

ステップ 5.2.2.2

$144$ と $27$ をたし算します。

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{171^{3}}$

ステップ 5.2.2.3

$171$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 12) = \frac{- 24 (- 12 + 9) (- 12 - 9)}{5000211}$

ステップ 5.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

$- 12$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 12) = \frac{- 24 \cdot (- 3 (- 12 - 9))}{5000211}$

ステップ 5.2.3.2

$- 24$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 12) = \frac{72 (- 12 - 9)}{5000211}$

ステップ 5.2.3.3

$- 12$ から $9$ を引きます。

$f'' (- 12) = \frac{72 \cdot - 21}{5000211}$

ステップ 5.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$72$ に $- 21$ をかけます。

$f'' (- 12) = \frac{- 1512}{5000211}$

ステップ 5.2.4.2

$- 1512$ と $5000211$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.1

$27$ を $- 1512$ で因数分解します。

$f'' (- 12) = \frac{27 (- 56)}{5000211}$

ステップ 5.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.2.2.1

$27$ を $5000211$ で因数分解します。

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

ステップ 5.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (- 12) = \frac{27 \cdot - 56}{27 \cdot 185193}$

ステップ 5.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (- 12) = \frac{- 56}{185193}$

ステップ 5.2.4.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 12) = - \frac{56}{185193}$

ステップ 5.2.5

最終的な答えは $- \frac{56}{185193}$ です。

$- \frac{56}{185193}$

ステップ 5.3

$f'' (- 12)$ が負なので、区間 $(- \infty, - 9)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 9)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 9, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = \frac{2 (- 4) ((- 4) + 9) ((- 4) - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

$2$ に $- 4$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{({(- 4)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

ステップ 6.2.2.2

$16$ と $27$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{43^{3}}$

ステップ 6.2.2.3

$43$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 (- 4 + 9) (- 4 - 9)}{79507}$

ステップ 6.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.3.1

$- 4$ と $9$ をたし算します。

$f'' (- 4) = \frac{- 8 \cdot (5 (- 4 - 9))}{79507}$

ステップ 6.2.3.2

$- 8$ に $5$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{- 40 (- 4 - 9)}{79507}$

ステップ 6.2.3.3

$- 4$ から $9$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{- 40 \cdot - 13}{79507}$

ステップ 6.2.4

$- 40$ に $- 13$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{520}{79507}$

ステップ 6.2.5

最終的な答えは $\frac{520}{79507}$ です。

$\frac{520}{79507}$

ステップ 6.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- 9, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- 9, 0)$ で上に凹します。

ステップ 7

区間 $(0, 9)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = \frac{2 (4) ((4) + 9) ((4) - 9)}{{({(4)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

$2$ に $4$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(4^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 7.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{{(16 + 27)}^{3}}$

ステップ 7.2.2.2

$16$ と $27$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{43^{3}}$

ステップ 7.2.2.3

$43$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{8 (4 + 9) (4 - 9)}{79507}$

ステップ 7.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.3.1

$4$ と $9$ をたし算します。

$f'' (4) = \frac{8 \cdot (13 (4 - 9))}{79507}$

ステップ 7.2.3.2

$8$ に $13$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{104 (4 - 9)}{79507}$

ステップ 7.2.3.3

$4$ から $9$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{104 \cdot - 5}{79507}$

ステップ 7.2.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.4.1

$104$ に $- 5$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{- 520}{79507}$

ステップ 7.2.4.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (4) = - \frac{520}{79507}$

ステップ 7.2.5

最終的な答えは $- \frac{520}{79507}$ です。

$- \frac{520}{79507}$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(0, 9)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 9)$ で下に凹します。

ステップ 8

区間 $(9, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $12$ で置換えます。

$f'' (12) = \frac{2 (12) ((12) + 9) ((12) - 9)}{{({(12)}^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

$2$ に $12$ をかけます。

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(12^{2} + 27)}^{3}}$

ステップ 8.2.2

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.2.1

$12$ を $2$ 乗します。

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{{(144 + 27)}^{3}}$

ステップ 8.2.2.2

$144$ と $27$ をたし算します。

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{171^{3}}$

ステップ 8.2.2.3

$171$ を $3$ 乗します。

$f'' (12) = \frac{24 (12 + 9) (12 - 9)}{5000211}$

ステップ 8.2.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.3.1

$12$ と $9$ をたし算します。

$f'' (12) = \frac{24 \cdot (21 (12 - 9))}{5000211}$

ステップ 8.2.3.2

$24$ に $21$ をかけます。

$f'' (12) = \frac{504 (12 - 9)}{5000211}$

ステップ 8.2.3.3

$12$ から $9$ を引きます。

$f'' (12) = \frac{504 \cdot 3}{5000211}$

ステップ 8.2.4

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.1

$504$ に $3$ をかけます。

$f'' (12) = \frac{1512}{5000211}$

ステップ 8.2.4.2

$1512$ と $5000211$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.2.1

$27$ を $1512$ で因数分解します。

$f'' (12) = \frac{27 (56)}{5000211}$

ステップ 8.2.4.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.4.2.2.1

$27$ を $5000211$ で因数分解します。

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

ステップ 8.2.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (12) = \frac{27 \cdot 56}{27 \cdot 185193}$

ステップ 8.2.4.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (12) = \frac{56}{185193}$

ステップ 8.2.5

最終的な答えは $\frac{56}{185193}$ です。

$\frac{56}{185193}$

ステップ 8.3

$f'' (12)$ が正なので、区間 $(9, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(9, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - 9)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- 9, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, 9)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(9, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 10

微分積分 例

微分積分例