微分積分例

$\sin^{2} (x)$

ステップ 1

$\sin^{2} (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \sin^{2} (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sin (x)$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.1.1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $\sin (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

ステップ 2.1.1.2

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.1.1.3

簡約します。

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ステップ 2.1.1.3.1

$2 \sin (x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$2 \cos (x) \sin (x)$

ステップ 2.1.1.3.2

$2 \cos (x)$ と $\sin (x)$ を並べ替えます。

$\sin (x) (2 \cos (x))$

ステップ 2.1.1.3.3

$\sin (x)$ と $2$ を並べ替えます。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

ステップ 2.1.1.3.4

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$f' (x) = \sin (2 x)$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.1.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.1.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 2.1.2.2

微分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\cos (2 x) (2 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.2.3

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.2.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\cos (2 x) \cdot 2$

ステップ 2.1.2.2.3.2

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x)$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $2 \cos (2 x)$ です。

$2 \cos (2 x)$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $2 \cos (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$2 \cos (2 x) = 0$

ステップ 2.2.2

$2 \cos (2 x) = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

$2 \cos (2 x) = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (2 x)}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.2.1.2

$\cos (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\cos (2 x) = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$\cos (2 x) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arccos (0)$

ステップ 2.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.4.1

$\arccos (0)$ の厳密値は $\frac{π}{2}$ です。

$2 x = \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.5

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.1

$2 x = \frac{π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.5.3.2

$\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.5.3.2.1

$\frac{π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.5.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{π}{4}$

ステップ 2.2.6

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.7

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.7.1

簡約します。

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ステップ 2.2.7.1.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.7.1.2

$2 π$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

ステップ 2.2.7.1.3

公分母の分子をまとめます。

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

ステップ 2.2.7.1.4

$2$ に $2$ をかけます。

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

ステップ 2.2.7.1.5

$4 π$ から $π$ を引きます。

$2 x = \frac{3 π}{2}$

ステップ 2.2.7.2

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.7.2.1

$2 x = \frac{3 π}{2}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.7.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.7.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.7.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

ステップ 2.2.7.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.7.2.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 2.2.7.2.3.2

$\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.2.7.2.3.2.1

$\frac{3 π}{2}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

ステップ 2.2.7.2.3.2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{3 π}{4}$

ステップ 2.2.8

$\cos (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 2.2.8.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 2.2.8.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 2.2.8.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.2.8.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.8.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 2.2.8.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 2.2.9

$\cos (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2.2.10

答えをまとめます。

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 、任意の整数 $n$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 2 \cos (2 (0))$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 2 \cos (0)$

ステップ 5.2.2

$\cos (0)$ の厳密値は $1$ です。

$f'' (0) = 2 \cdot 1$

ステップ 5.2.3

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 2$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $2$ です。

$2$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

微分積分 例

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