微分積分例

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を関数で書きます。

$f (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{2}$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.1.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.1.1.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

ステップ 2.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 2.1.1.2.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.1.1.2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

ステップ 2.1.1.2.4

項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.1.1.2.4.2

$- 2$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

ステップ 2.1.1.2.4.3

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

ステップ 2.1.1.2.4.4

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.4.1

$2$ を $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

ステップ 2.1.1.2.4.4.2.4

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ を $1$ で割ります。

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

ステップ 2.1.1.2.4.5

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$ です。

$- \frac{d}{d x} [x e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$- (x \frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- \frac{x^{2}}{2}$ とします。

$- (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$u$ のすべての発生を $- \frac{x^{2}}{2}$ で置き換えます。

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.1

$- \frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \frac{x^{2}}{2}$ の微分係数は $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- (x (e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ と $\frac{1}{2}$ をまとめます。

$- (x (- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.2.2

$x$ と $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x) + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.4.4.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- (- 2 \frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4.2

$- 2$ と $\frac{x e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ をまとめます。

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} x + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.4.4.3

$\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2}$ と $x$ をまとめます。

$- (\frac{- 2 (x e^{- \frac{x^{2}}{2}}) x}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.5

$x$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{- 2 (x^{1} x e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.6

$x$ を $1$ 乗します。

$- (\frac{- 2 (x^{1} x^{1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- (\frac{- 2 (x^{1 + 1} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.1

$1$ と $1$ をたし算します。

$- (\frac{- 2 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2

$- 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.8.2.1

$2$ を $- 2 x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で因数分解します。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.8.2.2.1

$2$ を $2$ で因数分解します。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 (1)} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2.2

共通因数を約分します。

$- (\frac{2 (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}})}{2 \cdot 1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2.3

式を書き換えます。

$- (\frac{- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{1} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.8.2.2.4

$- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $1$ で割ります。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.10

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ に $1$ をかけます。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} + e^{- \frac{x^{2}}{2}})$

ステップ 2.1.2.11

簡約します。

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ステップ 2.1.2.11.1

分配則を当てはめます。

$- (- x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.2.11.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.11.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$1 (x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}) - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.2.11.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.2.11.3

項を並べ替えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.2.11.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ です。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}} - e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $x^{2} e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} - e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

ステップ 2.2.2.1.2

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $- e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1 = 0$

ステップ 2.2.2.1.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $e^{- \frac{x^{2}}{2}} x^{2} + e^{- \frac{x^{2}}{2}} \cdot - 1$ で因数分解します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1) = 0$

ステップ 2.2.2.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x^{2} - 1^{2}) = 0$

ステップ 2.2.2.3

因数分解。

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ステップ 2.2.2.3.1

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = 1$ です。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} ((x + 1) (x - 1)) = 0$

ステップ 2.2.2.3.2

不要な括弧を削除します。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- \frac{x^{2}}{2}}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.4.2.3

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.5

$x + 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$x + 1$ が $0$ に等しいとします。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.2.5.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.2.6

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.6.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.6.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.2.7

最終解は $e^{- \frac{x^{2}}{2}} (x + 1) (x - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 1, 1$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = {(- 4)}^{2} e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.2

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.3

$16$ を $2$ で割ります。

$f'' (- 4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f'' (- 4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.6

$16$ と $\frac{1}{e^{8}}$ をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(- 4)}^{2}}{2}}$

ステップ 5.2.1.7

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

ステップ 5.2.1.8

$16$ を $2$ で割ります。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

ステップ 5.2.1.9

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

ステップ 5.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (- 4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

ステップ 5.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (- 4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

ステップ 5.2.2.2

$16$ から $1$ を引きます。

$f'' (- 4) = \frac{15}{e^{8}}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $\frac{15}{e^{8}}$ です。

$\frac{15}{e^{8}}$

ステップ 5.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(- 1, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = {(0)}^{2} e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 e^{- \frac{0}{2}} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.3

$0$ を $2$ で割ります。

$f'' (0) = 0 e^{- 0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 e^{0} - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.5

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.6

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{{(0)}^{2}}{2}}$

ステップ 6.2.1.7

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 0 - e^{- \frac{0}{2}}$

ステップ 6.2.1.8

$0$ を $2$ で割ります。

$f'' (0) = 0 - e^{- 0}$

ステップ 6.2.1.9

$- 1$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - e^{0}$

ステップ 6.2.1.10

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - 1 \cdot 1$

ステップ 6.2.1.11

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 1$

ステップ 6.2.2

$0$ から $1$ を引きます。

$f'' (0) = - 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 6.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 1, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 1)$ で下に凹します。

ステップ 7

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = {(4)}^{2} e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.2

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 16 e^{- \frac{16}{2}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.3

$16$ を $2$ で割ります。

$f'' (4) = 16 e^{- 1 \cdot 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f'' (4) = 16 e^{- 8} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.5

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (4) = 16 (\frac{1}{e^{8}}) - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.6

$16$ と $\frac{1}{e^{8}}$ をまとめます。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{{(4)}^{2}}{2}}$

ステップ 7.2.1.7

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- \frac{16}{2}}$

ステップ 7.2.1.8

$16$ を $2$ で割ります。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 1 \cdot 8}$

ステップ 7.2.1.9

$- 1$ に $8$ をかけます。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - e^{- 8}$

ステップ 7.2.1.10

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (4) = \frac{16}{e^{8}} - \frac{1}{e^{8}}$

ステップ 7.2.2

分数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (4) = \frac{16 - 1}{e^{8}}$

ステップ 7.2.2.2

$16$ から $1$ を引きます。

$f'' (4) = \frac{15}{e^{8}}$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $\frac{15}{e^{8}}$ です。

$\frac{15}{e^{8}}$

ステップ 7.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(1, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例