微分積分例

$x e^{- 3 x}$

ステップ 1

$x e^{- 3 x}$ を関数で書きます。

$f (x) = x e^{- 3 x}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.1

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- 3 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 3 x$ とします。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3.3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.3.3.1

$- 3$ に $1$ をかけます。

$x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3.3.2

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 2.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1$

ステップ 2.1.1.3.5

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.1.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1.4.1

項を並べ替えます。

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.1.4.2

$- 3 e^{- 3 x} x + e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$f' (x) = - 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

総和則では、 $- 3 x e^{- 3 x} + e^{- 3 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x e^{- 3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x e^{- 3 x}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}]$ です。

$- 3 \frac{d}{d x} [x e^{- 3 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.2

$- 3 (x \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}] + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- 3 x$ とします。

$- 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 3 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- 3 (x (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.4

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x (e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.7

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 (x (e^{- 3 x} \cdot - 3) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.8

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$- 3 (x (- 3 \cdot e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.2.9

$e^{- 3 x}$ に $1$ をかけます。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$

ステップ 2.1.2.3

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- 3 x$ とします。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 2.1.2.3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 2.1.2.3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- 3 x$ で置き換えます。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]$

ステップ 2.1.2.3.2

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 2.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} (- 3 \cdot 1)$

ステップ 2.1.2.3.4

$- 3$ に $1$ をかけます。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) + e^{- 3 x} \cdot - 3$

ステップ 2.1.2.3.5

$- 3$ を $e^{- 3 x}$ の左に移動させます。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x}) + e^{- 3 x}) - 3 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

分配則を当てはめます。

$- 3 (x (- 3 e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.4.2.1

$- 3$ に $- 3$ をかけます。

$9 (x (e^{- 3 x})) - 3 e^{- 3 x} - 3 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2.4.2.2

$- 3 e^{- 3 x}$ から $3 e^{- 3 x}$ を引きます。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2.4.3

項を並べ替えます。

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.2.4.4

$9 e^{- 3 x} x - 6 e^{- 3 x}$ の因数を並べ替えます。

$f'' (x) = 9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ です。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.2.2

$3 e^{- 3 x}$ を $9 x e^{- 3 x} - 6 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.2.1

$3 e^{- 3 x}$ を $9 x e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$3 e^{- 3 x} (3 x) - 6 e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.2.2.2

$3 e^{- 3 x}$ を $- 6 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2) = 0$

ステップ 2.2.2.3

$3 e^{- 3 x}$ を $3 e^{- 3 x} (3 x) + 3 e^{- 3 x} (- 2)$ で因数分解します。

$3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$

ステップ 2.2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$e^{- 3 x} = 0$

$3 x - 2 = 0$

ステップ 2.2.4

$e^{- 3 x}$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$e^{- 3 x}$ が $0$ に等しいとします。

$e^{- 3 x} = 0$

ステップ 2.2.4.2

$x$ について $e^{- 3 x} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.2.1

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{- 3 x}) = \ln (0)$

ステップ 2.2.4.2.2

$\ln (0)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 2.2.4.2.3

$e^{- 3 x} = 0$ の解はありません

解がありません

ステップ 2.2.5

$3 x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.1

$3 x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$3 x - 2 = 0$

ステップ 2.2.5.2

$x$ について $3 x - 2 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.5.2.1

方程式の両辺に $2$ を足します。

$3 x = 2$

ステップ 2.2.5.2.2

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.1

$3 x = 2$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.2.5.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.5.2.2.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.5.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{2}{3}$

ステップ 2.2.5.2.2.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 2.2.6

最終解は $3 e^{- 3 x} (3 x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2}{3}$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, \frac{2}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 9 (0) \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$9$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 \cdot e^{- 3 \cdot 0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

ステップ 5.2.1.2

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 \cdot e^{0} - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

ステップ 5.2.1.3

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 \cdot 1 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

ステップ 5.2.1.4

$0$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 6 e^{- 3 \cdot 0}$

ステップ 5.2.1.5

$- 3$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 6 e^{0}$

ステップ 5.2.1.6

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$f'' (0) = 0 - 6 \cdot 1$

ステップ 5.2.1.7

$- 6$ に $1$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 6$

ステップ 5.2.2

$0$ から $6$ を引きます。

$f'' (0) = - 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 6$ です。

$- 6$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, \frac{2}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{2}{3})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(\frac{2}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f'' (3) = 9 (3) \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$9$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 3 \cdot 3} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.2

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = 27 \cdot e^{- 9} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (3) = 27 \cdot \frac{1}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.4

$27$ と $\frac{1}{e^{9}}$ をまとめます。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 3 \cdot 3}$

ステップ 6.2.1.5

$- 3$ に $3$ をかけます。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 e^{- 9}$

ステップ 6.2.1.6

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - 6 \frac{1}{e^{9}}$

ステップ 6.2.1.7

$- 6$ と $\frac{1}{e^{9}}$ をまとめます。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} + \frac{- 6}{e^{9}}$

ステップ 6.2.1.8

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (3) = \frac{27}{e^{9}} - \frac{6}{e^{9}}$

ステップ 6.2.2

分数をまとめます。

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ステップ 6.2.2.1

公分母の分子をまとめます。

$f'' (3) = \frac{27 - 6}{e^{9}}$

ステップ 6.2.2.2

$27$ から $6$ を引きます。

$f'' (3) = \frac{21}{e^{9}}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $\frac{21}{e^{9}}$ です。

$\frac{21}{e^{9}}$

ステップ 6.3

$f'' (3)$ が正なので、区間 $(\frac{2}{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{2}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例