微分積分例

$\arctan (x)$

ステップ 1

$\arctan (x)$ を関数で書きます。

$f (x) = \arctan (x)$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

ステップ 2.1.1.2

項を並べ替えます。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{1}{x^{2} + 1}$ を ${(x^{2} + 1)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 1)}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

ステップ 2.1.2.3

微分します。

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ステップ 2.1.2.3.1

総和則では、 $x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.1.2.3.3

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x + 0)$

ステップ 2.1.2.3.4

式を簡約します。

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ステップ 2.1.2.3.4.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$- {(x^{2} + 1)}^{- 2} (2 x)$

ステップ 2.1.2.3.4.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$- 2 {(x^{2} + 1)}^{- 2} x$

ステップ 2.1.2.4

簡約します。

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ステップ 2.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 2 \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 2.1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 2.1.2.4.2.1

$- 2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{- 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 2.1.2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}} x$

ステップ 2.1.2.4.2.3

$x$ と $\frac{2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ をまとめます。

$- \frac{x \cdot 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.4.2.4

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ です。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2 x}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 x = 0$

ステップ 2.2.3

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$2 x = 0$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{0}{2}$

ステップ 2.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.3.1

$0$ を $2$ で割ります。

$x = 0$

ステップ 3

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 5

区間 $(- \infty, 0)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f'' (- 2) = - \frac{2 (- 2)}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{({(- 2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$- 2$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{{(4 + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{5^{2}}$

ステップ 5.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2) = - \frac{- 4}{25}$

ステップ 5.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 2) = \frac{4}{25}$

ステップ 5.2.4

最終的な答えは $\frac{4}{25}$ です。

$\frac{4}{25}$

ステップ 5.3

$f'' (- 2)$ が正なので、区間 $(- \infty, 0)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(0, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - \frac{2 (2)}{{({(2)}^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$2$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = - \frac{4}{{(2^{2} + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.2.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = - \frac{4}{{(4 + 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.2.2

$4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (2) = - \frac{4}{5^{2}}$

ステップ 6.2.2.3

$5$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = - \frac{4}{25}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{4}{25}$ です。

$- \frac{4}{25}$

ステップ 6.3

$f'' (2)$ が負なので、区間 $(0, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, 0)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(0, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

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