微分積分例

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x^{2} - x$ および $g (x) = x^{2} + 3 x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - x] - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x^{2} - x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - \frac{d}{d x} [x]) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1 \cdot 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 4]}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

総和則では、 $x^{2} + 3 x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.10

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.11

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3 + 0)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.12

$2 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) - (x^{2} - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1) + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.1

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x^{2} + 3 x - 4) (2 x - 1)$ を展開します。

$\frac{x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.3

$- 1$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.4

$- 1 x^{2}$ を $- x^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 x (2 x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x \cdot x + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 3 \cdot 2 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.7

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} + 3 x \cdot - 1 - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.8

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 4 (2 x) - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.9

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x - 4 \cdot - 1 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2.10

$- 4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} - x^{2} + 6 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.3

$- x^{2}$ と $6 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3 x - 8 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.4

$- 3 x$ から $8 x$ を引きます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} - - x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.5

$- - x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.5.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + 1 x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.5.2

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 + (- x^{2} + x) (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x^{2} + x) (2 x + 3)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x + 3) + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x + 3)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} (2 x) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{2} x - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x \cdot x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 (x^{1} x^{2}) - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{1 + 2} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 1 \cdot 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} \cdot 3 + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.4

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + x (2 x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x \cdot x + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.6.1

$x$ を移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 (x \cdot x) + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + x \cdot 3}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.1.7

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.7.2

$- 3 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 11 x + 4 - 2 x^{3} - x^{2} + 3 x$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.2.2.1

$2 x^{3}$ から $2 x^{3}$ を引きます。

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 + 0 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2.2

$5 x^{2} - 11 x + 4$ と $0$ をたし算します。

$\frac{5 x^{2} - 11 x + 4 - x^{2} + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$5 x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{4 x^{2} - 11 x + 4 + 3 x}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.4

$- 11 x$ と $3 x$ をたし算します。

$\frac{4 x^{2} - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1

$4$ を $4 x^{2} - 8 x + 4$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) - 8 x + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.2

$4$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.3

$4$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2}) + 4 (- 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.4

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (- 2 x)$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.1.5

$4$ を $4 (x^{2} - 2 x) + 4 (1)$ で因数分解します。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2

完全平方式を利用して因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.3.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 2 x + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

ステップ 1.1.1.3.3.2.3

多項式を書き換えます。

$\frac{4 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2})}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.3.2.4

$a = x$ と $b = 1$ ならば、完全平方3項式 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x^{2} + 3 x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.4.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 1.1.1.3.4.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{((x - 1) (x + 4))}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.4.2

積の法則を $(x - 1) (x + 4)$ に当てはめます。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5

${(x - 1)}^{2}$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.5.2

式を書き換えます。

$f' (x) = \frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{4}{{(x + 4)}^{2}}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}]$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 4)}^{2}}$ を ${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$4 \frac{d}{d x} [{({(x + 4)}^{2})}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(x + 4)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{2 \cdot - 1}]$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{- 2}]$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 4$ とします。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 4$ で置き換えます。

$4 (- 2 {(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 2$ に $4$ をかけます。

$- 8 ({(x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [x + 4])$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

ステップ 1.1.2.3.4

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$- 8$ に $1$ をかけます。

$- 8 {(x + 4)}^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$- 8 \frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

$- 8$ と $\frac{1}{{(x + 4)}^{3}}$ をまとめます。

$\frac{- 8}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$ です。

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{8}{{(x + 4)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$8 = 0$

ステップ 1.2.3

$8 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{x^{2} - x}{x^{2} + 3 x - 4}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} + 3 x - 4 = 0$

ステップ 2.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x - 4$ を因数分解します。

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ステップ 2.2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 4$ で、その和が $3$ です。

$- 1, 4$

ステップ 2.2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 1) (x + 4) = 0$

ステップ 2.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 1 = 0$

$x + 4 = 0$

ステップ 2.2.3

$x - 1$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.3.1

$x - 1$ が $0$ に等しいとします。

$x - 1 = 0$

ステップ 2.2.3.2

方程式の両辺に $1$ を足します。

$x = 1$

ステップ 2.2.4

$x + 4$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.2.4.1

$x + 4$ が $0$ に等しいとします。

$x + 4 = 0$

ステップ 2.2.4.2

方程式の両辺から $4$ を引きます。

$x = - 4$

ステップ 2.2.5

最終解は $(x - 1) (x + 4) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 1, - 4$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 4}$

区間記号：

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq 1, - 4}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 4)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 6$ で置換えます。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{((- 6) + 4)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 6$ と $4$ をたし算します。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{{(- 2)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 6) = - \frac{8}{- 8}$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$8$ を $- 8$ で割ります。

$f'' (- 6) = 1$

ステップ 4.2.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 6) = 1$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $1$ です。

$1$

ステップ 4.3

$f'' (- 6)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 4)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 4)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 4, 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{8}{{((0) + 4)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ と $4$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{8}{4^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

$4$ を $3$ 乗します。

$f'' (0) = - \frac{8}{64}$

ステップ 5.2.2

$8$ と $64$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 (1)}{64}$

ステップ 5.2.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.2.2.1

$8$ を $64$ で因数分解します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

ステップ 5.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (0) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 8}$

ステップ 5.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (0) = - \frac{1}{8}$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{8}$ です。

$- \frac{1}{8}$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 4, 1)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 4, 1)$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = - \frac{8}{{((4) + 4)}^{3}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ と $4$ をたし算します。

$f'' (4) = - \frac{8}{8^{3}}$

ステップ 6.2.1.2

$8$ を $3$ 乗します。

$f'' (4) = - \frac{8}{512}$

ステップ 6.2.2

$8$ と $512$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$8$ を $8$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{8 (1)}{512}$

ステップ 6.2.2.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.2.1

$8$ を $512$ で因数分解します。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

ステップ 6.2.2.2.2

共通因数を約分します。

$f'' (4) = - \frac{8 \cdot 1}{8 \cdot 64}$

ステップ 6.2.2.2.3

式を書き換えます。

$f'' (4) = - \frac{1}{64}$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{64}$ です。

$- \frac{1}{64}$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が負なので、区間 $(1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 4)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 4, 1)$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例