微分積分例

$f (x) = - 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $- 3 x^{4} + 24 x^{3} - 48 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x^{4}$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$f' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.2.3

$4$ に $- 3$ をかけます。

$f' (x) = - 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$24$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $24 x^{3}$ の微分係数は $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.3.3

$3$ に $24$ をかけます。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2})$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.4.1

$- 48$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 48 x^{2}$ の微分係数は $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2}$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 48 (2 x)$

ステップ 1.1.1.4.3

$2$ に $- 48$ をかけます。

$f' (x) = - 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $- 12 x^{3} + 72 x^{2} - 96 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [72 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.2.2.1

$- 12$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 12 x^{3}$ の微分係数は $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $- 12$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (72 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [72 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$72$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $72 x^{2}$ の微分係数は $72 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 72 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ に $72$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x + \frac{d}{d x} (- 96 x)$

ステップ 1.1.2.4

$\frac{d}{d x} [- 96 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.4.1

$- 96$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 96 x$ の微分係数は $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.2.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.4.3

$- 96$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 36 x^{2} + 144 x - 96$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ です。

$- 36 x^{2} + 144 x - 96$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- 36 x^{2} + 144 x - 96 = 0$

ステップ 1.2.2

$- 12$ を $- 36 x^{2} + 144 x - 96$ で因数分解します。

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ステップ 1.2.2.1

$- 12$ を $- 36 x^{2}$ で因数分解します。

$- 12 (3 x^{2}) + 144 x - 96 = 0$

ステップ 1.2.2.2

$- 12$ を $144 x$ で因数分解します。

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 96 = 0$

ステップ 1.2.2.3

$- 12$ を $- 96$ で因数分解します。

$- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

ステップ 1.2.2.4

$- 12$ を $- 12 (3 x^{2}) - 12 (- 12 x)$ で因数分解します。

$- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 \cdot 8 = 0$

ステップ 1.2.2.5

$- 12$ を $- 12 (3 x^{2} - 12 x) - 12 (8)$ で因数分解します。

$- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$

ステップ 1.2.3

$- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ の各項を $- 12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8) = 0$ の各項を $- 12$ で割ります。

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$- 12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 12 (3 x^{2} - 12 x + 8)}{- 12} = \frac{0}{- 12}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$3 x^{2} - 12 x + 8$ を $1$ で割ります。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = \frac{0}{- 12}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$0$ を $- 12$ で割ります。

$3 x^{2} - 12 x + 8 = 0$

ステップ 1.2.4

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 1.2.5

$a = 3$ 、 $b = - 12$ 、および $c = 8$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $x$ の値を求めます。

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 8)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6

簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.6.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 1.2.6.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.6.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.6.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 1.2.6.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.7

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.7.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.7.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.7.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.7.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 1.2.7.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.7.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.8

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.8.1.1

$- 12$ を $2$ 乗します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.2

$- 4 \cdot 3 \cdot 8$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.1.2.1

$- 4$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 8}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.2.2

$- 12$ に $8$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 96}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.3

$144$ から $96$ を引きます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.4

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.8.1.4.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{12 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

ステップ 1.2.8.2

$2$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

ステップ 1.2.8.3

$\frac{12 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ を簡約します。

$x = \frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.8.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$x = \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.9

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - 36 {(0)}^{2} + 144 (0) - 96$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = - 36 \cdot 0 + 144 (0) - 96$

ステップ 4.2.1.2

$- 36$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 144 (0) - 96$

ステップ 4.2.1.3

$144$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 0 - 96$

ステップ 4.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$0$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 0 - 96$

ステップ 4.2.2.2

$0$ から $96$ を引きます。

$f'' (0) = - 96$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 96$ です。

$- 96$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $2$ で置換えます。

$f'' (2) = - 36 {(2)}^{2} + 144 (2) - 96$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1.1

$2$ を $2$ 乗します。

$f'' (2) = - 36 \cdot 4 + 144 (2) - 96$

ステップ 5.2.1.2

$- 36$ に $4$ をかけます。

$f'' (2) = - 144 + 144 (2) - 96$

ステップ 5.2.1.3

$144$ に $2$ をかけます。

$f'' (2) = - 144 + 288 - 96$

ステップ 5.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.2.1

$- 144$ と $288$ をたし算します。

$f'' (2) = 144 - 96$

ステップ 5.2.2.2

$144$ から $96$ を引きます。

$f'' (2) = 48$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $48$ です。

$48$

ステップ 5.3

$f'' (2)$ が正なので、区間 $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

ステップ 6

区間 $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $6$ で置換えます。

$f'' (6) = - 36 {(6)}^{2} + 144 (6) - 96$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$f'' (6) = - 36 \cdot 36 + 144 (6) - 96$

ステップ 6.2.1.2

$- 36$ に $36$ をかけます。

$f'' (6) = - 1296 + 144 (6) - 96$

ステップ 6.2.1.3

$144$ に $6$ をかけます。

$f'' (6) = - 1296 + 864 - 96$

ステップ 6.2.2

足し算と引き算で簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.2.1

$- 1296$ と $864$ をたし算します。

$f'' (6) = - 432 - 96$

ステップ 6.2.2.2

$- 432$ から $96$ を引きます。

$f'' (6) = - 528$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 528$ です。

$- 528$

ステップ 6.3

$f'' (6)$ が負なので、区間 $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, \frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(\frac{6 + 2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例