微分積分例

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 20$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $2 x^{3} + 3 x^{2} - 36 x + 20$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.2.3

$3$ に $2$ をかけます。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 36 x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.4

$\frac{d}{d x} [- 36 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.4.1

$- 36$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 36 x$ の微分係数は $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 x^{2} + 6 x - 36 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.4.3

$- 36$ に $1$ をかけます。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + \frac{d}{d x} [20]$

ステップ 1.1.1.5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.5.1

$20$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $20$ の微分係数は $0$ です。

$6 x^{2} + 6 x - 36 + 0$

ステップ 1.1.1.5.2

$6 x^{2} + 6 x - 36$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 36$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $6 x^{2} + 6 x - 36$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ です。

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x^{2}$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.2.3

$2$ に $6$ をかけます。

$12 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [6 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$12 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.3.3

$6$ に $1$ をかけます。

$12 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 36]$

ステップ 1.1.2.4

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.4.1

$- 36$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 36$ の微分係数は $0$ です。

$12 x + 6 + 0$

ステップ 1.1.2.4.2

$12 x + 6$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = 12 x + 6$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x + 6$ です。

$12 x + 6$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x + 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x + 6 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$12 x = - 6$

ステップ 1.2.3

$12 x = - 6$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$12 x = - 6$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x}{12} = \frac{- 6}{12}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 6}{12}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 6$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$x = \frac{6 (- 1)}{12}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$6$ を $12$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x = \frac{6 \cdot - 1}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 3$ で置換えます。

$f'' (- 3) = 12 (- 3) + 6$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

$12$ に $- 3$ をかけます。

$f'' (- 3) = - 36 + 6$

ステップ 4.2.2

$- 36$ と $6$ をたし算します。

$f'' (- 3) = - 30$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $- 30$ です。

$- 30$

ステップ 4.3

$f'' (- 3)$ が負なので、区間 $(- \infty, - \frac{1}{2})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で下に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 (0) + 6$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 + 6$

ステップ 5.2.2

$0$ と $6$ をたし算します。

$f'' (0) = 6$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $6$ です。

$6$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \frac{1}{2}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \infty, - \frac{1}{2})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(- \frac{1}{2}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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