微分積分例

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 5$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

微分します。

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ステップ 1.1.1.1.1

総和則では、 $x^{4} - 8 x^{2} + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.1.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.2.1

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x^{2}$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $- 8$ をかけます。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (5)$

ステップ 1.1.1.3

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.1

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x + 0$

ステップ 1.1.1.3.2

$4 x^{3} - 16 x$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $4 x^{3} - 16 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x^{3}$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 1.1.2.2.3

$3$ に $4$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 16 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 16$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 16 x$ の微分係数は $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

ステップ 1.1.2.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16 \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.3

$- 16$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 16$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $12 x^{2} - 16$ です。

$12 x^{2} - 16$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $12 x^{2} - 16 = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$12 x^{2} - 16 = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺に $16$ を足します。

$12 x^{2} = 16$

ステップ 1.2.3

$12 x^{2} = 16$ の各項を $12$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$12 x^{2} = 16$ の各項を $12$ で割ります。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{16}{12}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{12 x^{2}}{12} = \frac{16}{12}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$x^{2}$ を $1$ で割ります。

$x^{2} = \frac{16}{12}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$16$ と $12$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$4$ を $16$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 (4)}{12}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$4$ を $12$ で因数分解します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$x^{2} = \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 3}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$x^{2} = \frac{4}{3}$

ステップ 1.2.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{4}{3}}$

ステップ 1.2.5

$\pm \sqrt{\frac{4}{3}}$ を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\sqrt{\frac{4}{3}}$ を $\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.5.2.1

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2}}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.2.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.3

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 1.2.5.4.1

$\frac{2}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

ステップ 1.2.5.4.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

ステップ 1.2.5.4.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 1.2.5.4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 1.2.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.5.4.6.4.1

共通因数を約分します。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 1.2.5.4.6.4.2

式を書き換えます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3^{1}}$

ステップ 1.2.5.4.6.5

指数を求めます。

$x = \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

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ステップ 1.2.6.1

まず、 $\pm$ の正の数を利用し、1番目の解を求めます。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6.2

次に、 $\pm$ の負の値を利用し。2番目の解を求めます。

$x = - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 1.2.6.3

完全解は、解の正と負の部分の両方の計算結果です。

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3}) \cup (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = 12 {(- 4)}^{2} - 16$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 4) = 12 \cdot 16 - 16$

ステップ 4.2.1.2

$12$ に $16$ をかけます。

$f'' (- 4) = 192 - 16$

ステップ 4.2.2

$192$ から $16$ を引きます。

$f'' (- 4) = 176$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $176$ です。

$176$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 12 {(0)}^{2} - 16$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f'' (0) = 12 \cdot 0 - 16$

ステップ 5.2.1.2

$12$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 0 - 16$

ステップ 5.2.2

$0$ から $16$ を引きます。

$f'' (0) = - 16$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 16$ です。

$- 16$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

ステップ 6

区間 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $4$ で置換えます。

$f'' (4) = 12 {(4)}^{2} - 16$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$4$ を $2$ 乗します。

$f'' (4) = 12 \cdot 16 - 16$

ステップ 6.2.1.2

$12$ に $16$ をかけます。

$f'' (4) = 192 - 16$

ステップ 6.2.2

$192$ から $16$ を引きます。

$f'' (4) = 176$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $176$ です。

$176$

ステップ 6.3

$f'' (4)$ が正なので、区間 $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 7

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- \frac{2 \sqrt{3}}{3}, \frac{2 \sqrt{3}}{3})$ で下に凹します。

$f'' (x)$ が正なので $(\frac{2 \sqrt{3}}{3}, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 8

微分積分 例

微分積分例