微分積分例

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

$f (x) = x - 1$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x - 1) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2

微分します。

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ステップ 1.1.1.2.1

総和則では、 $x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.3

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.4.2

$x + 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.5

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.7

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8

式を簡約します。

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ステップ 1.1.1.2.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.2.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3

簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.1

分配則を当てはめます。

$f' (x) = \frac{x + 1 - x + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2

分子を簡約します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

$x + 1 - x - - 1$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 1.1.1.3.2.1.1

$x$ から $x$ を引きます。

$f' (x) = \frac{0 + 1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.1.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$f' (x) = \frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$1$ と $1$ をたし算します。

$f' (x) = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}]$ です。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{2}})$

ステップ 1.1.2.1.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 1.1.2.1.2.1

$\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ を ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ に書き換えます。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

ステップ 1.1.2.1.2.2

${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1.2.1.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

ステップ 1.1.2.1.2.2.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

ステップ 1.1.2.2

$f (x) = x^{- 2}$ および $g (x) = x + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 1$ とします。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = - 2$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 1.1.2.2.3

$u$ のすべての発生を $x + 1$ で置き換えます。

$f'' (x) = 2 (- 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 1.1.2.3

微分します。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 ({(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1))$

ステップ 1.1.2.3.2

総和則では、 $x + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.2.3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

ステップ 1.1.2.3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

ステップ 1.1.2.3.5

式を簡約します。

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ステップ 1.1.2.3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

ステップ 1.1.2.3.5.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = - 4 {(x + 1)}^{- 3}$

ステップ 1.1.2.4

簡約します。

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ステップ 1.1.2.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f'' (x) = - 4 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2

項をまとめます。

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ステップ 1.1.2.4.2.1

$- 4$ と $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ をまとめます。

$f'' (x) = \frac{- 4}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.2.4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (x) = - \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$ です。

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}}$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{4}{{(x + 1)}^{3}} = 0$

ステップ 1.2.2

分子を0に等しくします。

$4 = 0$

ステップ 1.2.3

$4 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 2

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.1

$\frac{x - 1}{x + 1}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x + 1 = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$x = - 1$

ステップ 2.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 1}$

区間記号：

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \neq - 1}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, - 1)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $- 4$ で置換えます。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{((- 4) + 1)}^{3}}$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$- 4$ と $1$ をたし算します。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{{(- 3)}^{3}}$

ステップ 4.2.1.2

$- 3$ を $3$ 乗します。

$f'' (- 4) = - \frac{4}{- 27}$

ステップ 4.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f'' (- 4) = \frac{4}{27}$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $\frac{4}{27}$ です。

$\frac{4}{27}$

ステップ 4.3

$f'' (- 4)$ が正なので、区間 $(- \infty, - 1)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

ステップ 5

区間 $(- 1, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 5.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = - \frac{4}{{((0) + 1)}^{3}}$

ステップ 5.2

結果を簡約します。

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ステップ 5.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 5.2.1.1

$0$ と $1$ をたし算します。

$f'' (0) = - \frac{4}{1^{3}}$

ステップ 5.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f'' (0) = - \frac{4}{1}$

ステップ 5.2.2

式を簡約します。

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ステップ 5.2.2.1

$4$ を $1$ で割ります。

$f'' (0) = - 1 \cdot 4$

ステップ 5.2.2.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$f'' (0) = - 4$

ステップ 5.2.3

最終的な答えは $- 4$ です。

$- 4$

ステップ 5.3

$f'' (0)$ が負なので、区間 $(- 1, \infty)$ でグラフが下に凹です。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 6

二次導関数が負のときグラフは下に凹で、二次導関数が正のときグラフは上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, - 1)$ で上に凹します。

$f'' (x)$ が負なので $(- 1, \infty)$ で下に凹します。

ステップ 7

微分積分 例

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