微分積分例

$f (x) = 10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$

ステップ 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 1.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1.1

総和則では、 $10 x^{2} - 10 \sin (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ です。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (10 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.1.2

$\frac{d}{d x} [10 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1.1.2.1

$10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $10 x^{2}$ の微分係数は $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$f' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.1.2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 10 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.1.2.3

$2$ に $10$ をかけます。

$f' (x) = 20 x + \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.1.3

$\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.1.3.1

$- 10$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 10 \sin (2 x)$ の微分係数は $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ です。

$f' (x) = 20 x - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x)$

ステップ 1.1.1.3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.1.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f' (x) = 20 x - 10 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 1.1.1.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.1.1.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f' (x) = 20 x - 10 (\cos (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.1.1.3.6

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$f' (x) = 20 x - 10 (2 \cdot \cos (2 x))$

ステップ 1.1.1.3.7

$2$ に $- 10$ をかけます。

$f' (x) = 20 x - 20 \cos (2 x)$

ステップ 1.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.2.1

総和則では、 $20 x - 20 \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x] + \frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (20 x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

ステップ 1.1.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 20 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

ステップ 1.1.2.2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

ステップ 1.1.2.2.3

$20$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 20 + \frac{d}{d x} (- 20 \cos (2 x))$

ステップ 1.1.2.3

$\frac{d}{d x} [- 20 \cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 1.1.2.3.1

$- 20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 20 \cos (2 x)$ の微分係数は $- 20 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ です。

$f'' (x) = 20 - 20 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

ステップ 1.1.2.3.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.3.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$f'' (x) = 20 - 20 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.2.2

$u$ に関する $\cos (u)$ の微分係数は $- \sin (u)$ です。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

ステップ 1.1.2.3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

ステップ 1.1.2.3.5

$2$ に $1$ をかけます。

$f'' (x) = 20 - 20 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

ステップ 1.1.2.3.6

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (x) = 20 - 20 (- 2 \sin (2 x))$

ステップ 1.1.2.3.7

$- 2$ に $- 20$ をかけます。

$f'' (x) = 20 + 40 \sin (2 x)$

ステップ 1.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $20 + 40 \sin (2 x)$ です。

$20 + 40 \sin (2 x)$

ステップ 1.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $20 + 40 \sin (2 x) = 0$ を解きます。

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ステップ 1.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$20 + 40 \sin (2 x) = 0$

ステップ 1.2.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$40 \sin (2 x) = - 20$

ステップ 1.2.3

$40 \sin (2 x) = - 20$ の各項を $40$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.3.1

$40 \sin (2 x) = - 20$ の各項を $40$ で割ります。

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

ステップ 1.2.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.2.1

$40$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.2.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{40 \sin (2 x)}{40} = \frac{- 20}{40}$

ステップ 1.2.3.2.1.2

$\sin (2 x)$ を $1$ で割ります。

$\sin (2 x) = \frac{- 20}{40}$

ステップ 1.2.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.3.3.1

$- 20$ と $40$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.1

$20$ を $- 20$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{20 (- 1)}{40}$

ステップ 1.2.3.3.1.2

共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.3.3.1.2.1

$20$ を $40$ で因数分解します。

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$\sin (2 x) = \frac{20 \cdot - 1}{20 \cdot 2}$

ステップ 1.2.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 1.2.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$\sin (2 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.4

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$2 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 1.2.5

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.5.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$2 x = - \frac{π}{6}$

ステップ 1.2.6

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.6.1

$2 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.6.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.6.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.6.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.6.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.6.3.2.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{2 \cdot 6}$

ステップ 1.2.6.3.2.2

$2$ に $6$ をかけます。

$x = - \frac{π}{12}$

ステップ 1.2.7

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 1.2.8

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 1.2.8.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$2 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 1.2.8.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$2 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 1.2.8.3

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 1.2.8.3.1

$2 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 1.2.8.3.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.8.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{2}$

ステップ 1.2.8.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 1.2.8.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

ステップ 1.2.8.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 1.2.8.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{2}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

ステップ 1.2.8.3.3.2.2

$6$ に $2$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{12}$

ステップ 1.2.9

$\sin (2 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 1.2.9.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 1.2.9.2

周期の公式の $b$ を $2$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

ステップ 1.2.9.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $2$ の間の距離は $2$ です。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.9.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.2.9.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 π}{2}$

ステップ 1.2.9.4.2

$π$ を $1$ で割ります。

$π$

ステップ 1.2.10

$π$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 1.2.10.1

$π$ を $- \frac{π}{12}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{12} + π$

ステップ 1.2.10.2

$π$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{12}{12}$ を掛けます。

$π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 1.2.10.3

分数をまとめます。

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ステップ 1.2.10.3.1

$π$ と $\frac{12}{12}$ をまとめます。

$\frac{π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

ステップ 1.2.10.3.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{π \cdot 12 - π}{12}$

ステップ 1.2.10.4

分子を簡約します。

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ステップ 1.2.10.4.1

$12$ を $π$ の左に移動させます。

$\frac{12 \cdot π - π}{12}$

ステップ 1.2.10.4.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{12}$

ステップ 1.2.10.5

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{12}$

ステップ 1.2.11

$\sin (2 x)$ 関数の周期が $π$ なので、両方向で $π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{12} + π n, \frac{11 π}{12} + π n$ 、任意の整数 $n$

ステップ 2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 3

二次導関数が0になる $x$ 値の周りの区間と未定義値の区間を作成します。

$(- \infty, \infty)$

ステップ 4

区間 $(- \infty, \infty)$ から任意の数を二次導関数に代入し、凹を求め判定します。

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ステップ 4.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (2 (0))$

ステップ 4.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

$2$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 20 + 40 \sin (0)$

ステップ 4.2.1.2

$\sin (0)$ の厳密値は $0$ です。

$f'' (0) = 20 + 40 \cdot 0$

ステップ 4.2.1.3

$40$ に $0$ をかけます。

$f'' (0) = 20 + 0$

ステップ 4.2.2

$20$ と $0$ をたし算します。

$f'' (0) = 20$

ステップ 4.2.3

最終的な答えは $20$ です。

$20$

ステップ 4.3

$f'' (0)$ が正なので、区間 $(- \infty, \infty)$ でグラフが上に凹です。

$f'' (x)$ が正なので $(- \infty, \infty)$ で上に凹します。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例