微分積分例

$y = x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 1

$y = x^{\frac{2}{3}}$ を関数で書きます。

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$

ステップ 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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ステップ 2.1

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.1.1

$n = \frac{2}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

ステップ 2.1.1.2

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

ステップ 2.1.1.3

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 2.1.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

ステップ 2.1.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1.5.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

ステップ 2.1.1.5.2

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

ステップ 2.1.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

ステップ 2.1.1.7

簡約します。

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ステップ 2.1.1.7.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.1.1.7.2

$\frac{2}{3}$ に $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ をかけます。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

ステップ 2.1.2

二次導関数を求めます。

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ステップ 2.1.2.1

$\frac{2}{3}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ の微分係数は $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ です。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

ステップ 2.1.2.2

指数の基本法則を当てはめます。

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ステップ 2.1.2.2.1

$\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ を ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2

${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1.2.2.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3} \cdot - 1}]$

ステップ 2.1.2.2.2.2

$\frac{1}{3}$ と $- 1$ をまとめます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 1}{3}}]$

ステップ 2.1.2.2.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{1}{3}}]$

ステップ 2.1.2.3

$n = - \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1})$

ステップ 2.1.2.4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

ステップ 2.1.2.5

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.2.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 3}{3}})$

ステップ 2.1.2.7

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.2.7.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 1 - 3}{3}})$

ステップ 2.1.2.7.2

$- 1$ から $3$ を引きます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{\frac{- 4}{3}})$

ステップ 2.1.2.8

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2}{3} (- \frac{1}{3} x^{- \frac{4}{3}})$

ステップ 2.1.2.9

$x^{- \frac{4}{3}}$ と $\frac{1}{3}$ をまとめます。

$\frac{2}{3} (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

ステップ 2.1.2.10

$\frac{2}{3}$ に $\frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}$ をかけます。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{3 \cdot 3}$

ステップ 2.1.2.11

掛け算します。

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ステップ 2.1.2.11.1

$3$ に $3$ をかけます。

$- \frac{2 x^{- \frac{4}{3}}}{9}$

ステップ 2.1.2.11.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{4}{3}}$ を分母に移動させます。

$f'' (x) = - \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.1.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$ です。

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}}$

ステップ 2.2

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.2.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{2}{9 x^{\frac{4}{3}}} = 0$

ステップ 2.2.2

分子を0に等しくします。

$2 = 0$

ステップ 2.2.3

$2 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ の定義域を求めます。

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ステップ 3.1

法則 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ を当てはめ、累乗法を根で書き換えます。

$\sqrt[3]{x^{2}}$

ステップ 3.2

式の定義域は、式が未定義の場合を除き、すべての実数です。この場合、式が未定義になるような実数はありません。

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

区間記号：

$(- \infty, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \in ℝ}$

ステップ 4

二次導関数が負なので、グラフは下に凹です。

グラフは下に凹です。

ステップ 5

微分積分 例

微分積分例